Precorso
Prof. Emilia Mezzetti
Dott. Luca Rondi |
Insiemi e operazioni su insiemi:
unione, intersezione, differenza. Insieme vuoto. Insieme delle parti di
un insieme. Prodotto cartesiano.
Relazioni in un insieme,
proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva.
Relazioni d'equivalenza; insieme quoziente. Relazioni d'ordine parziale
e totale.
Applicazioni fra insiemi.
Grafico di un'applicazione, insieme immagine. Applicazioni iniettive,
suriettive, biiettive. Composizione di applicazioni. Applicazione
inversa di una biiezione.
Elementi di logica: proposizioni,
connettivi “e, o, negazione, implicazione, equivalenza”, tabelle di
verità; quantificatori esistenziale e universale.
L'insieme dei numeri naturali N, cenni
agli assiomi di Peano. Il principio d'induzione matematica. Definizione
di somma e di prodotto in N. Metodo di dimostrazione per induzione.
Esistenza di minimo di un sottinsieme non vuoto di N. Costruzione di Z
a partire
da N. Divisibilità in N e in Z; numeri primi. Teorema di
divisione.
Massimo comun divisore: esistenza e costruzione con l’algoritmo
euclideo.
Esistenza e unicità della scomposizione in fattori primi
in
Z. Esistenza di infiniti numeri primi.
Testi consigliati:
B. Scimemi: Algebretta, Decibel
editrice
M.Fontana-S.Gabelli: Insiemi, numeri,
polinomi, CISU (1989)
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| Algebra 1 |
1. Insiemi
* Insiemi
* Funzioni
* Composizione di funzioni
* Numeri naturali ed interi
* Il principio di induzione
2. Insiemi e relazioni
* Relazioni di equivalenza
* Insiemi quoziente
* L’insieme delle classi di resti
* Cardinalità di insiemi
* Relazioni d’ordine
3. Insiemi dotati di un’operazione
* Semigruppi
* Monoidi
* Gruppi
* Gruppi ciclici
* Omomorfismi
* Relazioni di equivalenza compatibili
* Strutture algebriche quoziente
* Sottogruppi normali e classi laterali
* Permutazioni
* Il teorema di Cayley
* Gruppi finiti
Testi consigliati:
A.Facchini - Algebra e
Matematica Discreta, Decibel Zanichelli 2000
I.N.Herstein - Algebra, Editori
Riuniti 1992
P.J.Cameron - Introduction to
algebra, Oxford Science Publication 1998
S.Mac Lane, G.Birkhoff -
Algebra, Mursia 1985
S.Lang - Algebra, Addison-Wesley
1993
P.Grillet - Algebra, Wiley 1999
C.Marchionna Tibiletti,
V.Zambelli - Esercizi di algebra, Masson 1993
A.Ragusa, C.Sparacino -
Esercizi di algebra, Zanichelli 1992
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| Analisi 1 |
Numeri reali
Numeri razionali. Assiomi dei numeri
reali. L'assioma di continuità. Maggioranti e minoranti, estremo
superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore.
Proprietà dell'estremo superiore. Funzione valore assoluto e sue
proprietà. Disuguaglianza triangolare. Densità dei
razionali nei reali. Archimedeità
dei reali. Zeri di un polinomio, permanenza del segno per un polinomio,
teorema degli zeri per un polinomio. Radici n-esime di numeri reali non
negativi.
Cenni di topologia dei numeri reali.
Intorni, insiemi aperti e chiusi.
Punti di accumulazione e di chiusura. Frontiera di un insieme. Insieme
derivato e caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite il derivato.
Il teorema di Cantor sugli intervalli inscatolati. Il teorema di
Bolzano-Weierstrass. Insiemi connessi e loro caratterizzazione.
Limiti di successioni.
Successioni di numeri reali.
Definizione di limite, casi particolari di limiti finiti e infiniti.
Sottosuccessioni. Prime proprietà dei limiti: unicità,
permanenza del segno. Teorema del confronto e dei due Carabinieri.
Operazioni con i limiti. Teoreme sul limite delle successioni monotone.
Il limite fondamentale lim (1+1/n)n. Successioni
definite per ricorrenza, calcolo di limiti di successioni definite per
ricorrenza. Massimo e minimo limite e loro caratterizzazioni, rapporto
tra limite e massimo e minimo limite. Caratterizzazione dei chiusi
tramite le successioni. Successioni e sottosuccessioni convergenti.
Teorema di
Weierstrass sulle successioni. Compatti di R e loro caratterizzazione.
Successioni
di Cauchy. Completezza di R. Potenze di base reale ed esponente intero
e
razionale. Potenze con esponente reale. Funzione esponenziale e
funzione
logaritmo.
Serie numeriche.
Serie. Convergenza di una serie. Serie
notevoli. Condizione necesaria per la convergenza di una serie. Il
criterio di Cauchy per le serie. Serie a termini non negativi. Aut-aut
per le serie a termini non negativi, criterio del confronto. Il
criterio della radice e del rapporto. Il criterio della condensazione.
La serie armonica generalizzata. Serie a termini di segno alternato, il
criterio di Leibniz. Permutazione e permutabilità di una serie.
Caratterizzazione delle serie permutabili: il teorema di Riemann (senza
dimostrazione). Rappresentazione decimale
dei numeri reali.
Testi consigliati:
G. Prodi, Analisi Matematica, Ed.
Boringhieri
E. Giusti, Analisi Matematica 1, Ed.
Boringhieri
E. Giusti, Esrecizi e Complementi di
Analisi Matematica vol.1, Ed. Boringhieri
E. Acerbi, L. Modica , S. Spagnolo,
Problemi Scelti di Analisi Matematica 1, Ed. Liguori
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Probabilità
e
statistica |
Concezioni della
probabilità. Probabilità condizionate, indipendenza.
Valor medio, varianza, covarianza, correlazione. Distribuzione
binomiale, geometrica, di Poisson, esponenziale, normale. Generazione
di numeri casuali e simulazioni. Legge dei grandi numeri, teorema
limite centrale. Stime puntuali della media e della varianza. Stimatori
corretti e coerenti. Stime intervallari; attendibilità delle
stime. Test statistici e loro significatività. Il test di
Student e i due test del chi quadro.
Testo consigliato:
M. Rinaldi, S. Invernizzi, A. Sgarro
“Moduli di matematica e statistica”, Zanichelli 2000
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| Algebra 2 |
4. Teoria degli anelli e dei
campi
* Anelli
* Ideali ed anelli quoziente
* Omomorfismi
* Polinomi
* Domini d’integrità e campi
* Il campo dei quozienti di un dominio
di integrità
* Domini euclidei
* Estensione di campi
* Campi algebricamente chiusi
* Campi finiti
5. Teoria dei reticoli
* Reticoli distributivi
* Reticoli modulari
* Algebre di Boole
* Anelli Booleani
Testi consigliati:
A.Facchini - Algebra e
Matematica Discreta, Decibel Zanichelli 2000
I.N.Herstein - Algebra, Editori
Riuniti 1992
P.J.Cameron - Introduction to
algebra, Oxford Science Publication 1998
S.Mac Lane, G.Birkhoff -
Algebra, Mursia 1985
S.Lang - Algebra, Addison-Wesley
1993
P.Grillet - Algebra, Wiley 1999
C.Marchionna Tibiletti,
V.Zambelli - Esercizi di algebra, Masson 1993
A.Ragusa, C.Sparacino -
Esercizi di algebra, Zanichelli 1992
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| Analisi 2 |
Funzioni reali e funzioni reali
continue.
Funzioni reali di variabile reale.
Funzioni limitate. Punti di massimo e di minimo, assoluto e relativo.
Esempi notevoli: funzione potenza e radice, funzione esponenziale e
logaritmo,
funzioni trigonometriche. Limiti di funzioni. Caratterizzazione dei
limiti
di funzioni con le successioni. Permanenza del segno. Limiti per le
restrizioni,
limiti destri e sinistri. Il teorema del limite delle funzioni
monotone.
Limite delle funzioni composte. Limiti fondamentali
Funzioni continue. Permanenza del
segno. Caratterizzazione della continuità tramite le
successioni. Continuità e operazioni; continuità e
funzioni monotone; continuità e funzioni composte;
continuità e funzioni invertibili. Punti di
discontinuità. Punti di discontinuità per una funzione
crescente. Teorema degli zeri, teorema di connessione. Teorema di
compattezza, teorema di Weierstrass.
Funzioni uniformemente continue.
Teorema di prolungamento. Teorema di Heine. Funzioni Lipschitziane,
funzioni Hölderiane.
Calcolo differenziale.
Problema delle tangenti e problema
della velocità. Derivata. Funzioni derivabili; la
derivabilità
implica la continuità. Il teorema di Fermat sulla derivata nei
punti
di massimo o minimo. Operazioni sulle derivate; derivata della
composta,
derivata dell'inversa. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Il teorema
sul
limite della derivata. Test per la crescenza, test per minimi e
massimi.
Teoremi di de l'Hôpital. Approssimante lineare. Derivate
successive.
Lemma di Peano e lemma di Lagrange. Formula di Taylor con il resto di
Peano
e di Lagrange; formula di Taylor con il resto integrale. Calcolo di
valori
di funzioni utilizzando la formula di Taylor. Funzioni convesse e
concave.
Funzioni convesse e loro caratterizzazione con la funzione rapporto
incrementale.
Continuità delle convesse. Funzioni convesse derivabili e loro
caratterizzazione.
Test per la convessità con la derivata seconda. Flessi. Studi di
funzione.
Confronto locale tra funzioni: infiniti e infinitesimi. Ordini di
infinito
e infinitesimo. Principio di sostituzione.
Integrale di Riemann.
Funzioni semplici. Somme inferiori
e superiori. Funzioni integrabili secondo Riemann. Linearità e
positività dell'integrale. Integrabilità delle funzioni
continue.
Integrale su un intervallo, integrabilità delle funzioni
monotone.
Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo
integrale.
Teorema di Torricelli. Primitive . Integrale indefinito. Integrazione
per
sostituzione e per parti. Sostituzioni particolari. Integrazione delle
funzioni
iperboliche. Integrali impropri. Integrali di funzioni illimitate,
integrali
di funzioni su intervalli illimitati. Criterio dell'ordine di
infinitesimo
per la convergenza delle serie e degli integrali impropri.
Testi consigliati:
G. Prodi, Analisi Matematica, Ed.
Boringhieri
E. Giusti, Analisi Matematica 1, Ed.
Boringhieri
E. Giusti, Esrecizi e Complementi di
Analisi Matematica vol.1, Ed. Boringhieri
E. Acerbi, L. Modica , S. Spagnolo,
Problemi Scelti di Analisi Matematica 1, Ed.Liguori
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