Registrazione delle lezioni (a.a. 2021/22)

• Lezione 1. (6 ott) Introduzione al corso. Richiami sui gruppi. Gruppi di permutazioni, sottogruppi, laterali di un sottogruppo, sottogruppi normali. Gruppo delle permutazioni.
  Video 1
• Lezione 2. (8 ott) Sottogruppi normali, gruppi quozienti, omomorfismi di gruppi. Nucleo di un omomorfismo. I teoremi di omomorfismo. Gruppi ciclici.
  Video 2A, Video 2B.
• Lezione 3. (13 ott) Ancora sui gruppi ciclici. Ordine di un elemento in un gruppo. Sottogruppi di Z. Divisione con resto tra numeri naturali. Richiami sugli anelli. Ideali, anelli quoziente, teoremi omomorfismo. Gli anelli Z_m. Campi. Esempi.
  Video 3A, Video 3B.
• Lezione 4. (15 ott) Ideali di un anello, ideali finitamente generati, ideali principali. Elementi primi, irriducibili, unitari in un anello (dominio). Massimo comun divisore in un anello (dominio). In un dominio, un elemento primo è irriducibile. In generale non vale il viceversa. Divisone in $Z. Massimo comun divisore in Z. L'algoritmo di Euclide. Identità di Bezout.
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• Lezione 5. (21 ott) In Z irriducibile è equivalente a primo. Funzione di Eulero. Il gruppo U_m. Il teorema di Eulero, il piccolo teorema di Fermat. Alcuni esempi e applicazioni. Il teorema cinese dei resti.
  Video 5A, Video 5B.
• Lezione 6. (22 ott) Il teorema cinese dei resti: altra formulazione. Gruppi finiti. Problema di invertire il teorema di Lagrange. Caso dei gruppi ciclici e dei gruppi abeliani finti. Definizione di p-gruppo, di p-sottoguppo e di p-sottogruppo di Sylow. I tre teoremi di Sylow.
  Video 6A, Video 6B.
• Lezione 7. (27 ott) Discussione sui tre teoremi di Sylow. Esempi.
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• Correzione esercizi 14 ottobre (27 ott)
• Lezione 8. (29 ott) Costruzione dell'anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Varie definizioni. Grado, coefficiente direttivo, termine noto... Se A è un dominio, A[x] è un dominio. Teorema di estensione di un omomorfismo tra due anelli A e B ad un omomorfismo tra l'anello dei polinomi A[x] e B (mandando x in un elemento fissato b di B).
  Video 8A, Video 8B.
• Lezione 9. (5 nov) Divisione tra polinomi. Conseguenze della divisione. Teoremi di Ruffini e D'Alambert. In K[x] (K campo) tutti gli ideali sono principali (l'anello dei polinomi su un campo è un PID). Massimo comun divisore tra due polinomi. L'identità di Bezout. In K[x] (come in Z) primo = irriducibile. Definizione di dominio a fattorizzazione unica (UFD).
  Video 9A, Video 9B.
• Lezione 10. (10 nov) Domini a fattorizzazione unica. L'anello degli interi è un UFD. L'anello dei polinomi in una variabile su un campo è un UFD. L'anello Z[x] non è un PID.
  Video 10A, Video 10B.
• Correzione esercizi 30 ottobre (11 nov)
• Lezione 11. (12 nov) Polinomi primitivi. Lemma di Gauss. Legame tra la fattorizzazione di polinomi in Z[x] e in Q[x]. L'anello Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Polinomi irriducivili in C[x]. Cenno al teorema fondamentale dell'algebra.
  Video 11A, Video 11B.
• Lezione 12. (17 nov) Polinomi irriducibili in C[x] (solo polinomi di grado 1), polinomi irriducibili in R[x] (solo polinomi di grado 1 e polinomi di grado 2 con discriminante negativo). Polinomi irriducibili in Q[x] e in Z[x]. Il criterio di irriducibilità di Eisenstein.
  Caratteristica di un anello.
  Video 12A, Video 12B.
• Lezione 13. (19 nov) Omomorfismo (automorfismo) di Frobenius. Campo perfetto. Derivato di un polinomio e sue proprietà. Polinomi con derivato nullo. Come trovare se un polinomio ha fattori multipli.
  Video 13A, Video 13B.
• Lezione 14. (24 nov) In un anello di polinomi su un campo perfetto o su un campo di caratteristica 0, un polinomio ha fattori multipli se e solo se il mcd tra il polinomio e il suo derivato non e' unitario. Ideali di K[x] (con K campo). Ideali primi e massimali (che coincidono). Studio del quoziente di K[x] su un ideale (f). In particolare, K[x]/(f) è uno spazio vettoriale su K di dimensione il grado di f.
  Video 14A, Video 14B.
• Lezione 15. (26 nov) Il teorema cinese dei resti per polinomi. Esempi. La fattorizzazione di polinomi in Z_p[x]. Il primo e il secondo teorema di Berlekamp. Esempi.
  Alcune note relative ai teoremi di Berlekamp.
  Video 15A, Video 15B.
• Lezione 16. (1 dic) Ancora sui primi due teoremi di Berlekamp. Vari esempi.
  Video 16A, Video 16B.
• Lezione 17. (3 dic) Il terzo teorema di Berlekamp. Dimostrazione ed esempi.
  Video 17
• Lezione 18. (10 dic) Polinomi in n variabili. Definizioni e proprietà. Se A è un dominio, l'anello di polinomi in n variabili con coefficienti in A è un dominio. Analogo risultato per il caso UFD (con breve cenno di dimostrazione). Estensione di un omomorfismo nell'anello dei polinomi. Esempi di ideali nell'anello dei polinomi. Il più anello che contiene un anello dato e un numero finito di elementi. Estensione di campi. Definizione di elemento algebrico e trascendente.
  Video 18A, Video 18B.
• Lezione 19. (15 dic) Polinomio minimo di un elemento. K[a] e K[x]/(m) (sono isomorfi). Il polinomio minimo è irriducibile. Estensione algebrica. Grado di un'estensione. Teorema della torre. Un'estensione di grado finito è sempre algebrica. Se a è algebrico su un campo K e il suo polinomio minimo ha grado n, allora K[a] è un'estensione algebrica di grado n. Esempi.
  Video 19A, Video 19B.
• Correzione esercizi 27 novembre (15 dic)
• Lezione 20. (17 dic) Campo di spezzamento (o di riducibilità completa) di un polinomio. Costruzione del campo complesso come campo di spezzamento del polinomio (a coefficienti reali) x²+1. Ogni campo contiene o il campo dei razionali o il campo Z_p, quindi è uno spazio vettoriale su Q o su Z_p
  Campi finiti: primi teoremi. Un campo finito ha pⁿ. Teorema dell'elemento primitivo: in un campo finito il gruppo degli elementi invertibili è ciclico. Un campo finito è della forma Z_p[x]/(q), dove q è un polinomio irriducibile di Z_p[x]. Dato un primo p e un numero naturale n, esiste sempre un campo con pⁿ elementi.
  Video 20A, Video 20B.
• Lezione 21. (22 dic) Teorema dell'elemento primitivo (gli elementi invertibili di un campo finito sono un gruppo ciclico). Ancora risultati sui gruppi finiti: due campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi.
  Video 21A, Video 21B
• Lezione 22. Lezione registrata. Esempi di ideali primi e massimali nell'anello di polinomi in n variabili. Dimostrazione del teorema della torre.
  Video22A, Video 22B.
• Lezione 23 (12 gen). Discussione esercizi.
• Lezione 24 (14 gen). Discussione esercizi.