Università di Trieste - A.A. 2023/24
Algebra 2
Corso di Studi: Laurea triennale in Matematica
Docente: prof. Alessandro Logar
In questa pagina si possono trovare varie indicazioni relative
all'insegnamento di Algebra 2 (6 cfu) relativo al corso di Studi della
laurea triennale in Matematica (anni accademici 2018-19, 2019-20,
2020-21, 2021-22, 2022-23, 2023-24).
Il sito verrà via via aggiornato con esercizi e altre indicazioni
nel corso del semestre e, a corso finito, viene aggiornato con i testi
degli esercizi scritti dati nei vari appelli d'esame.
Anno Accademico 2023-24
Orario lezioni
- Martedì 12-14 aula 5C edificio H2bis
- Giovedì 11-13 aula 3B edificio H2bis
Testi consigliati:
-
Lindsay N. Childs, A concrete introduction to higher
algebra, third edition, Springer.
Disponibile nella Biblioteca di Scienze Matematiche del DMG
e anche
in una versione in rete.
- N. Jacobson, Basic algebra Disponibile nella
Biblioteca di Scienze Matematiche del DMG
- I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti (1992)
Disponibile presso la biblioteca di Scienze Matematiche.
- (Per approfondimenti su teoria dei Gruppi) John Rose
A course on Group theory, Cambridge University Press.
- I. Stewart, Galois Theory, Disponibile nella Biblioteca di
Scienze Matematiche del DMG.
Programma completo del corso:
Esercizi a.a. 2023-24
Lezioni
Le lezioni registrate sono disponibili su Teams (ma l'accesso va chiesto
al docente).
- Lezione 1. (26 sett. 23) Introduzione al corso. Richiami sulle relazioni di
equivalenza, sui gruppi, sottogruppi, le classi laterali, teorema di
Lagrange.
- Lezione 2. (28 sett. 23) Sottogruppi normali. Il quoziente. Teoremi di
omomorfismo, i sottogruppi di Z. Gruppi ciclici e loro
classificazione. Definizione di anello (commutativo, commutativo unitario).
Ideali in un anello. Quoziente di un anello rispetto ad un ideale.
- Lezione 3. (3 ott. 23) Anelli, ideali,
gli anelli Zm. La divisione in Z.
Elementi unitari e invertibili in un anello. Dominio d'integrità.
Elementi associati in un anello. Il massimo comun divisore in un dominio.
Il massimo comun divisore in Z e identità di Bezout. Il gruppo
Um delle unità di Zm. La
funzione di Eulero.
- Lezione 4. (5 ott. 23) Le congruenze e loro principali
proprietà. Il teorema di Eulero e il piccolo teorema
di Fermat. Esempi. Cenno alla verifica della primalità di un
numero. Il teorema cinese dei resti (due formulazioni).
- Lezione 5. (10 ott. 23) Gruppi finiti. Gruppi ciclici e gruppi
di permutazioni. Il teorema di Cayley. Il problema di invertire
il teorema di Lagrange. Il teorema di Cauchy per gruppi abeliani.
Nei gruppi abeliani il teorema di Lagrange si può invertire.
- Lezione 6. (12 ott. 23) I gruppi diedrali. I tre teoremi di
Sylow (solo enunciati) e alcune conseguenze. A meno di isomorfismi,
esistono due soli gruppi di ordine 6. Altri esempi ed esercizi.
- Lezione 7. (17 ott. 23) Anello dei polinomi. Costruzione e
prime proprietà. Correzione di alcuni esercizi.
- Lezione 8. (19 ott. 23) Ancora sull'anello dei polinomi.
Grado di un polinomio, principio di identità dei polinomi. Il
teorema di unicità di estensione di un omomorfismo.
Divisione tra polinomi. Teorema di Ruffini e teorema di d'Alambert.
- Lezione 9. (24 ott. 23) Identità di Bezout nell'anello
dei polinomi. Elementi primi e irriducibili in un
anello. Un elemento primo è sempre irriducibile. Nell'anello degli
interi e nell'anello dei polinomi con coefficienti in un campo,
irriducibile implica primo. Definzione di dominio a fattorizzazione
unica. L'anello degli interi è un dominio a fattorizzazione unica.
- Lezione 10. (26 ott. 23) L'anello dei polinomi con coefficienti
in un campo è un dominio a fattorizzazione unica. Polinomi irriducibili
in K[x]: esempi. Il teorema fondamentale dell'algebra. Gli unici
polinomi irriducibili di C[x] sono i polinomi di grado 1. I
polinomi irriducibili di R[x] sono quelli di grado 1 e di grado
2 con discriminante negativo. Polinomi primitivi in Q[x].
Prodotto di primitivi è primitivo.
- Lezione 11. (31 ott. 23) Il lemma di Gauss. Polinomi
irriducibili in
Z[x] e in Q[x]. L'anello dei polinomi
Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Ricerca
di fattori di polinomi in Z[x] (e in Q[x]):
fattori lineari. Il criterio di Eisenstein.
- Lezione 12. (7 nov. 23) Ancora sul criterio di Eisenstein.
Caratteristica di un anello. Un dominio di integrità
ha caratteristica 0 o un numero primo. La formula
(a+b)p= ap+bp
in un anello di caratteristica p. Discussione metodo di Kronecker
per la fattorizzazione di polinomi a coefficienti interi.
- Lezione 13. (9 nov. 23) L'omomorfismo di Frobenius.
Definizione di campo
perfetto (cioè un campo di caratteristica p tale
che ogni elemento
ammette radici p-ime). Primi esempi di campi di caratteristica
p perfetti (i.e. i campi Zp).
Un campo finito
è perfetto. Derivato di un polinomio. Proprietà
del derivato. Un polinomio con derivato zero in un campo di caratteristica
zero è costante. Se invece il campo è di caratteristica
p ed è perfetto, allora è la potenza p-ima
di un opportuno polinomio. Ancora discussione sul metodo di fattorizzazione
di Kronecker.
- Lezione 14. (14 nov. 23) Un polinomio su un campo K
di caratteristrica zero o di caratteristica p e perfetto è
privo di fattori multipli se e solo se il mcd con il suo derivato è
invertibile. I quozienti dell'anello dei polinomi K[x] (con K
campo). Esempi. K[x]/(f) è un K spazio vettoriale
di dimensione il grado di f.
- Lezione 15. (16 nov. 23) Ancora sull'anello K[x]/(f)
ed esempi. Costruzione di elementi invertibili e divisori dello zero
in K[x]/(f). Congruenze tra polinomi. Il teorema cinese dei resti
per l'anello dei polinomi. Conseguenza: Dati n+1 elementi in un
campo K a due a due distinti e dati altri n+1 elementi
di K, esiste un unico polinomio di grado al massimo n
che valutato sui primi elementi assume il valore dei secondi.
- Lezione 16. (21 nov. 23) tL'algoritmo di B erlekamp per la
fattorizzazione di polinomi in Z[x]. Il primo teorema
di Berlekamp. Esempi. Dato un polinomio f di grado d,
come costruire un polinomio g di grado minore di d e
tale che f divida gp-g.
- Lezione 17. (23 nov 23) Ancora sull'algoritmo di Berlekamp.
Il secondo teorema di Berlekamp (costruzione della matrice Q
dei resti delle divisioni di xjp per un polinomio
f da fattorizzare) e il terzo teorema di Berlekamp (che fornisce
informazioni sul numero di fattori irriducibili di un polinomio di
Z[x]. Esempi.
- Lezione 18. (28 nov. 23) Ancora osservazioni sul metodo
di fattorizzazione di
Berlekamp. Polinomi in più variabili: definizione e proprietè.
Grado di un polinomio in n variabli. Principio di identità
dei polinomi, se l'anello dei coefficienti è un dominio
d'integrità (un UFD), allora l'anello dei polinomi in
n variabili
è anche un dominio d'integrità (un UFD). Il teorema di
estensione per polimoni in più variabili.
- Lezione 19. (30 nov. 23) Ideali di un anello generati da
un insieme. Ideali finitamente generati e ideali principali. Ideali
primi e massimali in un anello. Esempi di anelli primi e massimali
in $K[x_1, \dots, x_n]$.
- Lezione 20. (5 dic. 23) Dati due anelli A e B
(con il primo sottoanello del secondo, costruzione del più piccolo
anello che contiene A e un numero finito di elementi di B.
Estensione di campi. Grado di un'estensione. Dati due campi K e
L (con il primo sottocampo del secondo), costruzione del più
piccolo campo che contiene K e un numero finito di elementi di
L. Definizione di elemento algebrico e trascendente. Polinomio
minimo. Esempi. Se a è algebrico su un campo K,
allora K[a] = K(a).
- Lezione 21. (7 dic. 23) Proprietà del polinomio minimo:
è irriducibile. Se un polinomio irriducibile in K
si annulla in un
elemento di L ed è monico, allora quel polinomio è
il polinomio minimo dell'elemento. Estensioni algebriche. Grado di
un'estensione. Se un'estensone ha grado finito, allora è algebrica.
Teorema della torre. Dato un polinomio irriducibile f
su un campo K,
costruzione di un campo L, estensione di K che contiene
una radice di f. Costruzione del campo dei numeri complessi.
- Lezione 22. (12 dic. 23) Campo di riducibilità completa
di un polinomio. Costruzione del campo C. Esempi. Prime nozioni
sui campi finiti. Un campo finito ha pn elementi.
Teorema dell'elemento primitivo: il gruppo moltiplicativo formato
dagli elementi non nulli di un campo finito è ciclico.
- Lezione 23. (14 dic. 23) Esempi di elementi primitivi. Un
campo finito è sempre isomorfo a Zp[x]
quozientato su un polinomio irriducibile. Dati un numero primo p
e un numero naturale n, esiste sempre un campo finito con
pn elementi. Esempi ed esercizi.
- Lezione 24. (19 dic. 23) Due campi finiti con lo stesso
numero di elementi
sono tra loro isomorfi. Esempi ed esercizi.
- Lezione 25. (21 dic. 23) Discussione e correzione esercizi.
- Lezione 26. (9 gen. 24) Discussione e correzione esercizi.
- Lezione 27. (11 gen. 24) Discussione e correzione esercizi.
Esempi utili
Scritti degli esami
Anni accademici precedenti
diario delle lezioni a.a. 22-23:
Si veda qui.
diario delle lezioni a.a. 21-22 e registrazione:
Si veda qui.
diario delle lezioni a.a. 20-21 e registrazione:
Si veda qui.
Esercizi a.a. 2022-23
Esercizi a.a. 2021-22
Esercizi a.a. 2020-21
Esercizi a.a. 2019-20
Esercizi a.a. 2018-19
Diario delle lezioni
- Lezione 1: Introduzione al corso. Richiami su definizione di
gruppi, sottogruppi, classi laterali (destre e sinistre),
primi esempi di gruppi.
- Lezione 2: Sottogruppi normali, gruppi quoziente, omomorfismi
di gruppi. Il nucleo di un omomorfismo. L'omomorfismo canonico da un
gruppo nel suo quoziente fatto rispetto ad un sottogruppo normale.
Teoremi di omomorfismo. Legge del doppio quoziente. Gruppi ciclici.
- Lezione 3: Ancora sui gruppi ciclici. Esempi. I gruppi ciclici
delle radice n-ime dell'unità. Definizione di anelli,
di ideali, ideali destri sinistri, bilateri, ideali in anelli
commutativi. Ideali di Z.
- Lezione 4: Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo.
Campi. Ideali nei campi. Ideali generati da un insieme. Ideali finitamente
generati. Ideali principali. Definizione di PID (dominio ad ideali
principali).
- Lezione 5: Elementi invertibili in un anello. Elementi
primi e irriducibili in un dominio d'integrità. In un dominio,
se un elemento è primo, allore è anche irriducibile.
Definizione di massimo comun divisore tra due elementi di un anello.
La divisione nell'anello degli interi Z. Calcolo del massimo comun
divisore in Z per mezzo dell'algoritmo di Euclide.
L'identità di Bezout. Il gruppo degli elementi invertibili di
Zn. La funzione di Eulero e il piccolo teorema
di Fermat.
- Lezione 6: Teorema cinese dei resti per numeri interi.
Conseguenza/altra formulazione del teorema: se
m1, ..., mn sono numeri naturali a
due a due coprimi, allora Zm è
isomorfo al prodotto
Zm_1x ... x Zm_n, dove
m è il prodotto degli mi.
Alcuni approfondimenti sui gruppi finiti. Quando si può invertire
il teorema di Lagrange? Se G è un gruppo ciclico finito
e se m divide il suo ordine, G ha un sottogruppo di ordine
m. Teorema di Cauchy per gruppi abeliani: Dato un gruppo finito
abeliano G di ordine m, se p è un primo che divide
m, allora G ha un elemento di ordine p.
Se G è un gruppo abeliano finito di ordine n
e se m divide n, allora G ha un sottogruppo
di ordine m.
- Lezione 7:
Gruppi finiti: i tre teoremi di Sylow (senza dim). Definizione di p
sottogruppo e di p sottogruppo di Sylow di un gruppo. Teorema di
Cauchy (per gruppi non abeliani).
La costruzione dell'anello dei polinomi in una variabile.
- Lezione 8: Ancora sulla costruzione dell'anello dei polinomi.
Grado di un polinomio, termine/coefficiente direttivo di un polinomio,
termine noto, polinomio monico. Dati due polinomi di A[x], se
i loro coefficienti direttivi non sono divisori dello zero, allora
il grado del loro prodotto è la somma dei loro gradi.
Se A è un dominio di
integrità, allora A[x] è anche un dominio.
Un omomorfismo tra due anelli A, B si estende in unico modo
ad un omomorfismo tra A[x] e B[y] che manda x in
y. Omomorfismo di valutazione (che manda un polinomio f(x)
di A[x] nell'elemento f(a) di A). Dato un
omomorfismo h da A in B ed un elemento b di
B, esiste un unico omomorfismo da A[x] in B che
estende h e che manda x in b.
Divisione tra polinomi: dati f, g in A[x], se il
coefficiente direttivo di f è invertibile, allora
esistono due polinomi q, r unici con grado di r minore
del grado di f tali che g = qf+r.
Teorema di Ruffini: il resto della divisione di un polinomio di
K[x] (con K campo) quando viene diviso per x-a vale
f(a); inoltre f è divisibile per x-a se e
solo se f(a)=0.
Teorema di D'Alambert: un polinomio di grado n a coefficienti
in un campo ha al massimo n radici. Conseguenza: se il campo
K dei coefficienti è infinito, allora f=g se e
solo se f(a)=g(a) per ogni a in K.
- Lezione 9: Elementi associati in un anello. Definizione di massimo
comun divisore in un dominio. Unicità
del massimo comun divisore (a meno
di associati). Il massimo comun divisore tra polinomi in una
variabile (a coefficienti in un campo). Costruzione del massimo comun
divisore tra polinomi per mezzo della divisione
e identità di Bezout. L'anello dei polinomi in una variabile
a coefficienti su un campo è ad ideali principali (PID). Esempi.
L'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti negli interi non
è invece un PID.
- Lezione 10: Elementi primi e irriducibili in un dominio. Se in
un dominio esiste il massimo comun divisore, allora primo = irriducibile.
Fattorizzazione unica in irriducibili in K[x] (con K campo).
Unicità della fattorizzazione. Tutti i polinomi di grado 1 sono
irriducibili in K[x]. Teorema fondamentale dell'algebra: ogni
polinomio di grado almeno 1 con coefficienti nel campo complesso ha almeno
una radice (nel campo complesso). Conseguenza: gli unici polinomi
irriducibili in C[x] sono i polinomi di grado 1;
ogni polinolmio di grado almeno 1 è prodotto di polinomi lineari.
Cenno alla dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.
- Lezione 11: Fattorizzazione in R[x]. Tutti i polinomi
irriducibili sono o di grado 1 o grado 2 e con discriminante negativo.
Problema della comprensione dei polinomi iriducibili in Q[x].
Definizione di polinomio primitivo in Q[x] (un polinomio
a coefficienti interi con i coefficienti primi tra loro). Ogni polinomio
di Q[x] è associato ad un polinomio primitivo.
Il prodotto di
due polinomi primitivi è primitivo. Se due polinomi primitivi sono
associati, allora o sono uguali o opposti. Lemma di Gauss. Conseguenze del
lemma di Gauss: un polinomio primitivo (non constante) è
irriducibile in Z[x] se e solo se è irriducibile in
Q[x].
- Lezione 12: Definizione di dominio a
fattorizzazione unica (UFD). Esempi: gli anelli
Z e K[x] (con K campo) sono UFD.
Ogni polinomio primitivo in Z[x] è prodotto di
polinomi irriducibili in Z[x], primitivi, essenzialmente in
unico modo. L'anello dei polinomi Z[x] è un dominio
a fattorizzazione unica. Metodo per
trovare se un polinomio in Q[x]
(o in Z[x]) ha dei fattori lineari o, equivalentemente,
se ha una radice razionale p/q (basta ricercare p tra
i fattori del termine noto del polinomio e q tra i fattori del
coefficiente direttivo del polinomio). Criterio di irriducibiltà di
Eisenstein. Conseguenze: ci sono infiniti polinomi irriducibili in
Q[x] in ogni grado.
Caratteristica di un anello.
- Lezione 13:
Ancora sulla caratteristica di un anello. Ogni anello unitario contiene una
copia di Z (se è di caratteristica 0) o una copia di
Zm (se è di caratteristica m). Un
dominio ha sempre caratteristica 0 o un numero primo p. In un
anello di caratteristica p (numero primo) vale la formula
(a+b)p=ap+bp. L'omomorfismo
di Frobenius. Definizione di campo perfetto: un campo di caratteristica
p è perfetto se l'omomorfismo di Frobenius è
un isomorfismo, cioè se ogni elemento del campo ammette una
radice p-ima. I campi finiti sono perfetti. Nei campi
Zp ogni elemento è radice
p-ima di sè stesso.
Definizione di derivato D(f) di un polinomio f
(in K[x] con
K campo). L'applicazione D
dell'anello dei polinomi in sè è lineare e inoltre vale:
D(fg) = D(f) g + f D(g). Se un campo è di caratteristica
zero, allora D(f) = 0 comporta che f è in K.
Se un campo è di caratteristica
p ed è perfetto, allora D(f) = 0 comporta che
f è la potenza p-ima di un polinomio.
- Lezione 14: Uso del massimo comun divisore
tra un polinomio e il suo derivato
per scoprire se il polinomio ha fattori multipli. Vale: Se il campo
K è di caratteristica zero o è un campo
perfetto, allora un polinomio f di K[x] ha fattori
multipli se e solo se il massimo comun divisore tra f e D(f)
non è unitario.
Problema della fattorizzazione di polinomi in Zp[x].
Il primo teorema di Berlekamp.
Appunti sui teoremi di Berlekamp.
- Lezione 15: Il secondo teorema di Berlekamp. Esempi.
- Lezione 16: Il terzo teorema di Berlekamp ed esempi.
Esempio completo
di fattorizzazione con il metodo di Berlekamp. Altri esempi.
- Lezione 17: Polinomi in più variabili, definiti
induttivamente. Definizione monomi e termini. Definizione di grado
(globale e rispetto ad una variabile) di un polinomio. Principio di
identità di polinomi. Se A è un dominio,
anche A[x1, ..., xn] è un dominio,
se A è un UFD (dominio a fattorizzazione unica),
anche A[x1, ..., xn] è un UFD.
A[x1, ..., xn], se n > 1, non è
un PID. Esempi.
Teorema di estensione di un omomorfismo f tra due anelli A e
B ad un omomorfismo F
tra A[x1, ..., xn]
che estende f e che manda
x1, ..., xn in n elementi di B
fissati.
Ideali in K[x1, ..., xn]
(con K campo). Esempi.
- Lezione 18:
Esempi di ideali in K[x1, ..., xn] (con
K campo). Ideali della forma (x1-a1, ...,
xn-an) sono ideali massimali. Un modo per provarlo
utilizza il teorema di estensione di un omomorfismo da
K[x1, ..., xn] in K
che estende l'identità su K
e manda xi in ai.
- Lezione 19: Se B è un anello, se
A è un sottoanello di B e se
b1, ..., bn sono n
elementi di B fissati, allora con
A[b1, ..., bn] si indica il
più piccolo sottoanello di B che contiene
A e b1, ..., bn
(esiste sempre, basta prendere l'intersezione di tutti
i sottoanelli di B che contengono A e
b1, ..., bn). Se si definisce
l'omomorfismo di anelli F : A[x1, ..., xn]
--> B tale che F(a)=a per ogni a elemento di
A e F(xi)=bi, si vede che
A[b1, ..., bn] è
l'immagine di F, pertanto è costituito da
tutti i polinomi in x1, ..., xn
a coefficienti in A valutati in
b1, ..., bn.
Estensione di campi. Se L è un campo, K
è un sottocampo e se
b1, ..., bn sono elementi di L,
con K(b1, ..., bn) si indica il
più piccolo campo che contiene K e gli elementi
b1, ..., bn. Si vede che
K(b1, ..., bn)=
Q(K[b1, ..., bn])
L è un'estensione
finitamente generata di K se L è della
forma K(b1, ..., bn) (con
b1, ..., bn elementi di L).
In particolare, se n=1, l'estensione di dice semplice.
Esempi. Se L è un
campo e K è un sottocampo
di L, allora un alemento a di L si dice
algebrico su K se esiste un polinomio f in K[x]
non nullo, tale che f(a)=0. Se a non è
algebrico, allora a si dice trascendente (su K).
- Lezione 20: Se a è un elemento di un campo L
ed è algebrico su un campo K, allora il polinomio
monico di grado minimo
possibile a coefficienti in K[x] che si annulla in a, si
dice polinomio minimo di a (su K). Il polinomio minimo
m(x) di a si
può vedere anche considerando l'omomorfismo di valutazione
F: K[x] --> L (cioè tale che F(u) = u, se u
è in K e F(x)=a), infatti succede che Ker(F)
è è un ideale di K[x] generato proprio da m(x).
Inoltre,
dal teorema di omomorfismo, si ha che K[x]/(m) è, isomorfo
a K[a]. Si prova poi che il polinomio minimo m è
irriducibile, quindi l'ideale (m) è primo e anche massimale,
quindi K[x]/(m) è un campo, pertanto K[a] = K(a)
è un campo.
Estensione di campi. La notazione L:K. Grado di un'estensione:
se L è un'estensione del campo K, allora L
è uno spazio vettoriale su K. Con [L:K] si indica
la dimensione di L come K-spazio vettoriale. Se [L:K]=n,
si dice che l'estensione è di grado n.
- Lezione 21: Data l'estensione L:K, sia
a un elemento di L, algebrico su K.
Allora vale: [K[a]:K] = n, dove
n è il grado del polinomio minimo di a su K.
Se in un'estensone L:K ogni elemento di L è algebrico
su K, l'estensione si dice algebrica. Se vale: [L:K]= n,
allora L è un'estensione algebrica di K.
Legge della torre: se L : K e M : L
sono due estensioni, allora vale: [M : K] = [M : L][L : K].
Dato un polinomio f irriducibile
su un campo K, esiste un campo L che estende
K e tale che f ammette uno zero in L
(il campo L è definito da K[x]/(f)
e lo zero di f è la classe di equivalenza di
x in K[x]/(f)). Campo di riducibilità
completa (o di spezzamento) di un polinomio di K[x]:
è il più piccolo campo che contiene K
e in cui f si spezza in un prodotto di fattori lineari.
Se f è un qualunque polinomio di K[x],
esiste sempre il campo di riducibilità completa per
f (si prova per induzione sul grado di f:
si scrive f come
prodotto di fattori irriducibili; allora, per il risultato
precedente, esiste un campo L dove uno dei fattori
irriducibili di f ammette uno zero. Quindi in
L[x] il polinomio f si spezza nel prodotto di un
polinomio lineare e un polinomio g di grado più
piccolo del grado di f. Si procede analogamente con g).
-
Lezione 22: Il Campo dei numeri complessi, visto come il
quoziente R[x]/(x2+1). Ancora sulle estensioni di
campi. Campi finiti. Se K è un campo finito,
allora ha pn elementi, dove p è
la caratteristica ed n è un numero naturale. Questo segue
dal fatto che K contiene Zp ed
è uno spazio vettoriale su Zp .
Il teorema dell'elemento primitivo: Se K è un campo finito,
allora il gruppo K\{0} rispetto al prodotto è un
gruppo ciclico.
- Lezione 23: Ancora sui campi finiti. Ogni campo finito è
della forma Zp[x]/(q) dove q è
un polinomio irriducibile. Dati p primo ed n numero naturale,
esiste sempre un campo finito con pn elementi
(si costruisce considerando il campo di riducibilità completa di
xm-1, dove
m = pn. Dati due campi finiti con lo stesso numero di
elementi, sono isomorfi. Pertanto per ogni p ed n esiste
un unico campo finito con pn elementi. Esso si chiama
campo di Galois e si indica con GF(p, n).
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