diario delle lezioni (a.a. 2022/23)

• Lezione 1. (4 ott. 22) Introduzione al corso. Richiami sulle relazioni di equivalenza e sui gruppi. Omomorfismi, sottogruppi, laterali di un sottogruppo, sottogruppi normali. Gruppo quoziente.
  
• Lezione 2. (7 ott. 22) Ancora sui quozienti di gruppi. Esempi. Gruppi abeliani. Teoremi di omomorfismo. Corrispondenza tra sottogruppi di un gruppo G che contengono un sottogruppo normale H e sottogruppi del quoziente G/H. Teorema di Lagrange. Gruppi ciclici.
• Lezione 3. (11 ott. 22) Esempi di gruppi ciclici. Caratterizzazione dei gruppi ciclici. Legge del doppio quoziente.
• Lezione 4. (14 ott. 22) Gruppi di permutazioni. I gruppi $S_n$. Richiamo sugli anelli e ideali. Omomorfismi, teoremi di omomorfismo. Ideale generato da un insieme. Ideale finitamente generato. Ideale principale. Ideali in Z.
• Lezione 5. (18 ott. 22) Gli anelli Z_m. Ideali in Z_m. Il massimo comun divisore in un anello. Il massimo comun divisore nell'anello delgi interi. L'identità di Bezout. Il gruppo U_m degli elementi invertibili di Z_m.
• Lezione 6. (21 ott. 22) Definizione di funzione di Eulero. Dato un numero naturale m, la funzione di Eulero valutata in m è il numero di fattori primi con m (minori di m). Congruenze. Se m è un numero naturale primo con un numero intero a, allora a elevato alla funzione di Eulero valutata in m è congruo ad 1 modulo m. Il piccolo teorema di Fermat. Esempi. Il teorema cinese dei resti.
• Lezione 7. (25 ott. 22) Altra formulazione del teorema cinese dei resti. Isomorfismo tra Z_ab e Z_axZ_b se a e b sono coprimi.
  Problema: quando si può invertire il teorema di Lagrange? Primo esempio: nei gruppi ciclici finiti il teorema di Lagrange è invertibile. Dato un gruppo abeliano finito di ordine n e un divisore di m, p primo, esiste nel gruppo un elemento di ordine p.
• Lezione 8. (28 ott. 22) Se G è un gruppo abeliano finito di ordine n e m divide n, allora esiste un sottogruppo di G di ordine m (quindi per gruppi abeliani finiti si può invertire il teorema di Lagrange). Definizione di p-gruppo e di p-gruppo di Sylow. I tre teoremi di Sylow. Esempi.
• Lezione 9. (8 nov. 22) Costruzione dell'anello dei polinomi. Grado di un polinomio. Se si parte da un dominio d'integrità, l'anello dei polinomi con coefficiente in tale anello è a sua volta un dominio d'integrità. Discussione di alcuni esercizi.
• Lezione 10. (11 nov. 22) Divisione tra polinomi. Teorema di Ruffini, teorema di d'Alambert. Due polinomi che coincidono su infiniti elementi sono uguali come polinomi. Massimo comun divisore tra polinomi. Identità di Bezout. Elementi primi e irriducibili in un dominio. Elementi associati. Esempi.
• Lezione 11. (15/11/2022) Negli interi e nell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo, primo = irriducibile. Numeri naturali primi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Domini a fattorizzazione unica. Z e K[x] sono UFD. Ideali in K[x]: l'anello dei polinomi è un PID. Il quoziente K[x]/I.
• Lezione 12. (18/11/2022) Ancora sul quoziente K[x]/I: è uno spazio vettoriale di dimensione n su K, dove n è il grado del polinomio generatore di I. Polinomi di Q[x] primitivi. Il prodotto di primitivi è primitivo. Lemma di Gauss.
• Lezione 13. (22/11/2022) Dimostrazione del lemma di Gauss. Fattorizzazione in Z[x]. L'anello Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Criterio per verificare se un polinomio in Z[x] (in Q[x]) ha un fattore lineare (o ha una radice razionale). Criterio di Eisenstein.
• Lezione 14. (25/11/2022) Ancora sul lemma di Gauss. Conseguenze. Polinomi irriducibili nell'anello dei polinomi sui numeri complessi. Il teorema fondamentale dell'algebra (cenno). Polinomi irriducibili sul campo dei reali: sono o di grado 1 o di grado 2 con discriminante negativo. Caratteristica di un anello. Un dominio ha caratteristica zero o un numero primo. In caratteristica p vale: (a+b)^p = a^p+b^p.
• Lezione 15. (29/11/2022) Omomorfismo ed isomorfismo di Frobenius. Campi perfetti. Il derivato di un polinomio e sue proprietà. Polinomi con derivato zero in campi perfetti. Come trovare se un polinomio ha fattori multipli (nel caso di caratteristica zero e nei campi perfetti). Congruenze tra polinomi. Teorema cinese dei resti per polinomi.
• Lezione 16. (1/12/2022) Ancora sul teorema cinese dei resti per polinomi. Casi particolari. Il problema della fattorizzazione di polinomi. Il primo teorema di Berlekamp. Esempi. Dato un polinomio f in Z_p[x], la costruzione di un polinomio g tale che f divida g^p-g.
• Lezione 17. (2/12/2022) Il secondo teorema di Berlekamp. La costruzione di g è ricondotta alla soluzione di un sistema lineare in Z_p. Esempi.
• Lezione 18. (6/12/2022) IL terzo teorema di Berlekamp ed esempi.
• Lezione 19. (13/12/2022) Anello di polinomi in più variabili. Principali proprietà. Grado globale di un polinomio e grado parziale. Principio di identità dei polinomi. Teorema di estensione di omomorfismi per polinomi in più variabili.
• Lezione 20. (15/12/2022) Ideali nell'anello di polinomi in più variabili. Esempi di ideali massimali. Campi. Estensione di campi. Grado di un'estensione. Data un'estensione di campi L:K, costruzione del più piccolo anello (campo) che contiene K e un elemento di L.
• Lezione 21. (16/12/2022) Elementi algebrici e trascendenti. Esempi. Polinomio minimo di un elemento algebrico e sue proprietà. L'anello (campo) K[x]/(m) (dove m è il polinomio minimo di un elemento in un'estensione di K.
• Lezione 22. (20/12/2022) Teorema della torre. Dato un polinomio irriducibile a coefficienti in un campo K, esiste un'estensione di K dove tale polinomio ha una radice. Campo di riducibilità completa di un polinomio (o di spezzamento). Sua costruzione.
  Campi finiti. Un campo finito ha pⁿ elementi (con p numero primo, caratteristica del campo).
• Lezione 23. (21/12/2022) Teorema dell'elemento primitivo per campi finiti. Un campo finito è sempre un quoziente di Z_p[x] fatto rispetto ad un polinomio irriducibile. Dati p primo ed n naturale, esiste un campo finito con pⁿ elementi. Due campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi. Campi di Galois. Esempi.
• Lezione 24. (9/1/23) Discussione esercizi.
• Lezione 25. (13/1/23) Discussione esercizi.