Università degli Studi di Trieste

Corso di Studi in Fisica e Matematica

Anno accademico 2019/2020


Programma del corso di

Analisi Matematica I

tenuto dal Prof. Alessandro Fonda


1. Insiemi numerici
Numeri naturali. Principio di induzione. Cenni di calcolo combinatorio. I coefficienti binomiali e il teorema del binomio. Numeri interi e numeri razionali.


2. Assiomi dei numeri reali
L'assioma diseparazione. Maggioranti e minoranti, estremo superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Densità dei razionali nei reali. Archimedeità dei reali. Numeri complessi. Topologia dei numerireali. Intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e di chiusura. Frontiera di un insieme. Insieme derivato e caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite il derivato. Il teorema di Cantor sugli intervalli inscatolati. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.


3. Limiti di successioni

Successioni di numeri reali. Definizione di limite, casi particolari di limiti finiti e infiniti. Sottosuccessioni. Proprietà dei limiti: unicità, permanenza del segno. Teorema del confronto e dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il limite fondamentale $\lim (1+1/n)^n$. Caratterizzazione dei chiusi tramite le successioni. Successioni e sottosuccessioni convergenti. Teorema di Weierstrass sulle successioni. Compatti di R e loro caratterizzazione. Successioni di Cauchy. Completezza di R.


4. Limiti di funzioni
Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di variabile. Teorema dei due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite destro e sinistro. Funzioni monotone.


5. Funzioni continue
Somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue. Il teorema degli zeri. Continuità della funzione inversa. Potenze di base reale ed esponente intero e razionale. Potenze con esponente reale. Funzione esponenziale e funzione logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Limiti notevoli per l'esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche. Compattezza e funzioni continue. Massimi e minimi: il teorema di Weierstrass. Teorema di Heine.


6. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
La derivata come limite del rapporto incrementale. Derivate successive. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzioni composte, inverse. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Regole di de l'Hopital. Caratterizzazione delle funzioni derivabili monotone. Funzioni convesse e concave. Studi di funzione. Formula di Taylor con resto di Lagrange.


7. Calcolo Integrale per funzioni reali di una variabile reale
Somme inferiori e superiori. Funzioni integrabili secondo Riemann. Caratterizzazione delle funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per sostituzione e per parti.


TESTI CONSIGLIATI:


       1. M. Dolcher: "Elementi di analisi matematica", Ed. Lint, Trieste, 1991 (due volumi).

       2. E. Giusti, "Analisi matematica", Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 1988.

       3. C. Pagani e S. Salsa, "Analisi matematica", Ed. Masson, Milano, 1993.

       4. G. Prodi, "Analisi matematica", Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 1970.

       5. W. Rudin, "Principi di analisi matematica", Ed. MacGraw-Hill, Milano, 1990.