Università degli Studi di Trieste
Corso di Studi in Fisica e Matematica
Anno accademico 2019/2020
Programma del corso di
Analisi Matematica I
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda
1. Insiemi numerici
Numeri naturali. Principio di induzione. Cenni di calcolo combinatorio. I
coefficienti binomiali e il teorema del binomio. Numeri interi e numeri
razionali.
2. Assiomi dei numeri reali
L'assioma diseparazione. Maggioranti e minoranti, estremo superiore e
inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Densità dei
razionali nei reali. Archimedeità dei reali. Numeri complessi. Topologia
dei numerireali. Intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione
e di chiusura. Frontiera di un insieme. Insieme derivato e
caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite il derivato. Il teorema di
Cantor sugli intervalli inscatolati. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.
3. Limiti di successioni
Successioni di numeri reali. Definizione di limite, casi particolari di
limiti finiti e infiniti. Sottosuccessioni. Proprietà dei limiti: unicità,
permanenza del segno. Teorema del confronto e dei due Carabinieri.
Operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il
limite fondamentale $\lim (1+1/n)^n$. Caratterizzazione dei chiusi tramite
le successioni. Successioni e sottosuccessioni convergenti. Teorema di
Weierstrass sulle successioni. Compatti di R e loro caratterizzazione.
Successioni di Cauchy. Completezza di R.
4. Limiti di funzioni
Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di variabile. Teorema dei
due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite destro e sinistro.
Funzioni monotone.
5. Funzioni continue
Somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue.
Il teorema degli zeri. Continuità della funzione inversa. Potenze di base
reale ed esponente intero e razionale. Potenze con esponente reale.
Funzione esponenziale e funzione logaritmo. Le funzioni trigonometriche.
Limiti notevoli per l'esponenziale, il logaritmo e le funzioni
trigonometriche. Compattezza e funzioni continue. Massimi e minimi: il
teorema di Weierstrass. Teorema di Heine.
6. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
La derivata come limite del rapporto incrementale. Derivate successive.
Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzioni composte,
inverse. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Regole di de
l'Hopital. Caratterizzazione delle funzioni derivabili monotone. Funzioni
convesse e concave. Studi di funzione. Formula di Taylor con resto di
Lagrange.
7. Calcolo Integrale per funzioni reali di una variabile reale
Somme inferiori e superiori. Funzioni integrabili secondo Riemann.
Caratterizzazione delle funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni
monotone e delle funzioni continue. Teorema della media integrale.
Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo. Integrazione per
sostituzione e per parti.
1. M. Dolcher: "Elementi di analisi matematica", Ed. Lint, Trieste, 1991 (due volumi).
2. E. Giusti, "Analisi matematica", Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 1988.
3. C. Pagani e S. Salsa, "Analisi matematica", Ed. Masson, Milano, 1993.
4. G. Prodi, "Analisi matematica", Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 1970.
5. W. Rudin, "Principi di analisi matematica", Ed. MacGraw-Hill, Milano, 1990.