Elementi di Analisi Superiore

Programma definitivo - a.a. 2007/2008

Dott. Luca Rondi

Analisi vettoriale

Curve e integrali curvilinei

Definizione di curve parametriche. Curve rettificabili e loro lunghezza. Curve regolari e loro rettificabilità. Curve equivalenti e definizione di cammini e cammini orientati. Parametrizzazione per lunghezza d'arco. Integrali di prima specie. Equivalenza tra curve regolari semplici con lo stesso sostegno. Curve regolari a tratti e loro caratterizzazione locale.

Forme differenziali

Forme differenziali e campi vettoriali. Integrazione di una forma differenziale lungo una curva. Forme differenziali esatte e campi conservativi. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte continue. Forme chiuse. Aperti convessi, stellati e semplicemente connessi. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte di classe C1.

Superfici e integrali superficiali

Definizione di superfici regolari. Area di una superficie e integrali superficiali. Superfici regolari a tratti e loro caratterizzazione locale. Superfici orientabili. Superfici orientabili con bordo non vuoto e orientazione del loro bordo.

Domini in RN

Domini Lipschitz o di classe C1 in RN. Versore normale esterno. Domini regolari in R2. Orientazione del bordo di un dominio in R2. Domini regolari in R3. Orientazione del bordo di un dominio in R3.

Teorema della divergenza e Teorema di Stokes

Partizioni dell'unità. Teorema della divergenza. Applicazioni del teorema della divergenza. Formule di Gauss-Green. Teorema di Stokes. Potenziale vettore.

Elementi di analisi funzionale

Spazi di Hilbert

Spazi di Hilbert: definizione e prime proprietà. Teorema della proiezione ortogonale. Teorema di rappresentazione di Riesz. Operatore aggiunto. Basi ortonormali.

Elementi di teoria spettrale negli spazi di Hilbert

Spettro e risolvente di un operatore lineare limitato. Compattezza dello spettro. Definizione di operatori normali, autoaggiunti, unitari e proiezioni e loro principali proprietà. Spettro di un operatore lineare limitato autoaggiunto. Caratterizzazione di operatori normali con spettro formato dal solo elemento zero. Definizione e prime proprietà degli operatori compatti. Spettro di un operatore compatto. Teorema dell'alternativa di Fredholm. Teorema di Hilbert.

Testi consigliati

Analisi vettoriale

E. Giusti, Analisi Matematica 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, 1989.

Cap. 7: Curve e superfici e Cap. 8: Forme differenziali.

E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi mathematica, volume secondo, Bollati Boringhieri, 1992.

Cap. 6: Curve e superfici e Cap. 7: Forme differenziali.

C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica, volume 2, Zanichelli, 1991.

Cap. 1: Curve e integrali curvilinei e Cap. 6: Superfici ed integrali di superficie.

M.H. Protter e C.B. Morrey, A first course in real analysis, seconda edizione, Springer-Verlag, 1991.

Cap. 16: Vector field theory, the theorems of Green and Stokes.

Elementi di analisi funzionale

H. Brezis, Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Masson/Dunod, 1983. (Edizione italiana: Analisi funzionale, Liguori, 1986).

Dall'edizione italiana: Cap. 5: Gli spazi di Hilbert e Cap 6: Operatori compatti. Decomposizione spettrale degli operatori autoaggiunti compatti.

W. Rudin, Real and complex analysis, terza edizione, McGraw-Hill, 1987. (Edizione italiana: Analisi reale e complessa, Boringhieri, 1974, traduzione della prima edizione inglese).

Dall'edizione italiana: Cap 4: Teoria elementare degli spazi di Hilbert.

W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973. (Seconda edizione 1991).

Dalla prima edizione: Cap. 12: Bounded operators on a Hilbert space.