Analisi 5 - Calcolo integrale in più variabili

Programma definitivo - a.a. 2006/2007

Dott. Luca Rondi

Integrale di Riemann in più variabili.

Definizione di integrale di Riemann. Criteri equivalenti di integrabilità. Somme alla Cauchy. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema di riduzione. Principio di Cavalieri. Misura di Peano-Jordan. Insiemi misurabili. Insiemi di misura nulla. Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Funzioni generalmente continue e loro integrabilità. Domini normali. Formule di riduzione sui domini normali. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, teorema della media, additività rispetto al dominio d'integrazione. Volume dei solidi di rotazione. Baricentro e momenti d'inerzia. Passaggi al limite sotto il segno d'integrale. Teorema di cambio di variabili negli integrali multipli (dimostrazione in R2). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Teorema di Guldino. Integrali generalizzati.

Curve.

Generalità sulle curve, curve di classe Ck. Sostegno di una curva. Curve equivalenti. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Rettificabilità di una curva di classe C1. Integrale lungo una curva.

Forme differenziali.

Integrazione di una forma differenziale su un cammino orientato. Forme differenziali esatte. Condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza di una forma continua su un dominio connesso. Forme differenziali chiuse. Condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza di una forma di classe C1 su un dominio stellato. Domini semplicemente connessi in R2. Condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza di una forma di classe C1 su un dominio semplicemente connesso o su un dominio semplicemente connesso privato di un suo punto. Applicazioni delle forme differenziali alle equazioni differenziali ordinarie.

Superfici.

Generalità sulle superfici. Superfici regolari. Superfici equivalenti. Area di una superficie e integrali superficiali. Cambio di variabili per un integrale superficiale.

Teoremi della divergenza e di Stokes.

Partizione dell'unità. Domini di classe Ck e Lipschitz. Operatori divergenza, rotore e laplaciano. Teorema della divergenza (dimostrazione in R2) e applicazioni. Formule di Gauss-Green sul piano per domini normali e di classe C1. Teorema di Stokes. Applicazioni alla fisica: campi conservativi ed equazioni di continuità.

Testi consigliati:

E. Giusti, Analisi Matematica 2
S. Campanato, Lezioni di Analisi Matematica, vol. 2
C. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica, vol. 2