PROGRAMMA DEL CORSO DI MATEMATICA 2
per il Corso di Laurea In Chimica
A.A. 2003-2004
Docenti: dott. Mattia Mecchia - dott. Paolo Novati

Algebra Lineare

• Numeri complessi e loro aritmetica - Il concetto di campo: Q, R e C - Forma Goniometrica - Teorema fondamentale dell'algebra.
• Spazi vettoriali - Combinazioni lineari - Basi - Coordinate - Sottospazi - Norme di vettori e loro proprietà - Prodotto scalare standard in spazi reali e complessi.
• Matrici - Operazioni tra matrici. - Trasposta e trasposta coniugata. - Matrici simmetriche ed hermitiane - Determinante e sue proprietà - Formula di Laplace - Matrici invertibili - Autovalori e autovettori - Polinomio caratteristico - Raggio spettrale - Matrici definite positive - Norme di matrici - Norme indotte e loro proprietà.

Successioni e serie

• Succesioni numeriche - Succesioni convergenti e divergenti - Calcolo del limite di una succesione - Crescita polinomiale, esponenziale e logaritmica. - Successioni monotone e limitate - Convergenza in spazi normati.
• Serie numeriche - Serie di Mengoli - Serie geometrica - Criteri per la convergenza per le serie a termini positivi - Serie armonica e armonica generalizzata - Serie assolutamennte convergenti - Serie a segni alterni - Criterio di Leibnitz.
• Serie di funzioni - Serie di potenze - Raggio di convergenza - Derivazione ed integrazione di serie di potenze - Formula di Taylor - Funzioni sviluppabili in serie di Taylor e MacLurin - Serie di Fourier - Funzioni periodiche - Formule di Eulero-Fourier per i coefficienti.

Analisi degli errori

• Rappresentazione in base dei numeri reali - Numeri macchina e loro rappresentazioni - Approssimazioni per troncamento e per arrotondamento. - Maggiorazione dell'errore - Precisione di macchina - Aritmetica di macchina - Condizionamento dei problemi - Condizionamento delle operazioni elementari - Condizionamento dei sistemi lineari.

Risoluzione numerica dei sistemi lineari

• Risoluzione numerica dei sistemi lineari - Metodo di eliminazione gaussiana. - Tecniche di pivoting - Stabilità numerica dei metodi - Fattorizzazioni triangolari - Stabilità di una fattorizzazione - Metodi iterativi e loro convergenza - Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel - Criteri di convergenza - Criteri di arresto per i metodi iterativi - Stime degli errori a priori e posteriori - Metodo di Cholesky per matrici simmetriche definite positive.

Approssimazione di funzioni

• Minimi quadrati lineari - Sistema di equazioni normali - Retta di regressione lineare.
• Polinimi algebrici - Algoritmo di Ruffini-Horner - Teorema di Weierstrass - Polinomio di migliore approssimazione - Polinomi a tratti - Polinomio di interpolazione di Lagrange - Teorema di valutazione dell'errrore - Differenze divise - Polinomio di Newton - Convergenza degli schemi interpolatori - Teorema di Faber - Interpolazione a tratti - Interpolazione trammite rette e stime dell'errore.

Integrazione numerica

• Formule di quadrature - Ordine polinomiale - Formule interpolatorie e loro ordine polinomiale - Formule di Newton-Cotes- Formule aperte e chiuse - Ordine polinomiale per le formule di Newton-Cotes - Formule del punto medio del trapezio e di Cavalieri-Simpson - Convergenza delle formule di quadratura - Formule composte - Formule composte dei trapezi e di Cavalieri-Simpson - Valutazioni dell'errore.

Testi di riferimento

• V.Comincioli: "Analisi numerica. " - McGraw -Hill
• A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri: "Matematica numerica" - Springer
• S.Greco e P.Valabrega "Lezioni di matematica" - (Volume 2/1) - Levrotto & Bella
• G. Anichini e G.Conti: "Calcolo " (Volumi 1-2-3) - Pitagora Editrice Bologna
• S.Invernizzi, M.Rinaldi e A.Sgarro: "Moduli di matematica e statistica" - Zanichelli