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4 – Di cosa si occupa il calcolo combinatorio?

            Iniziamo a risolvere il seguente problema: quanti sono i possibili anagrammi della parola UNO? Se proviamo a scriverli tutti, vediamo che sono esattamente sei:

 

UNO

UON

NUO

NOU

OUN

ONU

 

E se volessimo i possibili anagrammi della parola ROMA? Se provassimo a scriverli tutti ne otterremmo ben ventiquattro (provare per credere!). Più in generale il problema degli anagrammi può essere posto nel seguente modo: dato un allineamento di n oggetti tra loro distinti, quante sono tutte le sue possibili permutazioni P(n)?

            Se  ci saranno solo due possibili permutazioni, ; per  abbiamo visto che le permutazioni sono in numero di 6, cioè ; si può dimostrare che in generale, per un allineamento di n oggetti distinti le possibili permutazioni sono . Tale numero viene anche indicato con  (e si legge n fattoriale). Quindi la parola AIUOLE può dare luogo a ben  anagrammi.

            Con MS Excel, per calcolare il fattoriale si usa la funzione FATTORIALE, che appartiene alla categoria delle funzioni Matematiche. Si può provare perciò a risolvere il seguente esercizio:

Esercizio 14.

Dodici studenti devono sostenere un esame orale e segnano i loro nomi su un foglio per stabilire l’ordine delle interrogazioni. In quanti modi può essere compilata tale lista?

 

            Proseguiamo con un’ulteriore questione: quante sono le parole di quattro lettere che si possono ottenere utilizzando, senza ripeterle, quelle del vocabolo AIUOLE?

 

AIUO

AIOL

AOLI

IOLE

ELUI

 

Nel calcolo combinatorio, tale numero viene detto disposizioni di sei oggetti di classe quattro, e si indica con . Per calcolarlo (purtroppo c’è un po’ di confusione nella terminologia di MS Excel), utilizziamo la funzione Permutazione della categoria Statistiche, dove in questo caso gli oggetti sono in Numero di 6 (il numero delle lettere della parola AIUOLE), e la Classe è 4 (in quanto voglio comporre parole di quattro lettere). La funzione PERMUTAZIONE(6;4) dà come risultato 360. Si può controllare che vale la relazione: . In generale le disposizioni  di n oggetti di classe k (con k non più grande di n) sono . Notiamo che quando k ed n sono uguali (ad esempio se dalla parola aiuole vogliamo estrarre tutti i possibili anagrammi utilizzando tutte e 6 le lettere) otteniamo nuovamente le permutazioni definite all’inizio di questo paragrafo. Risulta quindi PERMUTAZIONE(6;6) = FATTORIALE(6).

Esercizio 15.

Quante sono le parole di due lettere distinte che si possono ottenere utilizzando quelle del vocabolo UNO? E quelle di tre lettere dalla parola ROMA?

 

Esercizio 16.

La Commissione d’esame decide di interrogare i dodici studenti in due giorni diversi, sei il primo giorno e gli altri sei nel secondo. In quanti modi può essere compilata la lista degli studenti da interrogare il primo giorno?

 

            Passiamo adesso a quest’ultimo tipo di problema: quante sono le possibili cinquine in un’estrazione del lotto su una certa ruota? Questa domanda sembra essere simile alle precedenti, ma osserviamo che mentre prima ci interessava l’ordine in cui venivano messi gli elementi (la parola ROM è diversa da MOR) ora tale ordine non ci interessa più (la cinquina 67, 28, 44, 3, 40 è uguale alla 44, 40, 3, 67, 28). Per risolvere questo problema in MS Excel è presente la funzione COMBINAZIONE della categoria Matematiche, con la medesima sintassi di PERMUTAZIONE. Le possibili cinquine saranno quindi in numero di COMBINAZIONE(90;5) = 43.949.268 (come dire che se gioco una cinquina sulla prossima estrazione della ruota di Venezia ho solamente 1 probabilità su 44 milioni di vittoria; ed il peggio è che se scommetto 1 euro su tale combinazione, il valore della vincita è nettamente inferiore a 44 milioni di euro). Tale numero viene detto combinazione di 90 oggetti di classe 5. In generale le combinazioni  di n oggetti di classe k, sono . Il numero  si chiama anche coefficiente binomiale e si denota anche con il simbolo , che si legge “n su k”. Quindi, nell’esempio del lotto, abbiamo .

Esercizio 17.

Quale è la probabilità di fare un ambo in un’estrazione del lotto su una certa ruota?

 

Ora dovrebbe essere più chiaro quanto avevamo detto nel paragrafo 4.1 circa il possibile numero di anagrammi della parola VVVVVRRRRRR, che erano per l’appunto . Ulteriori approfondimenti sul calcolo combinatorio sono reperibili ad esempio in [9].