Sistemi Dinamici
(6 cfu )
CdL triennale
in
Matematica
PROGRAMMA
Equazioni
differenziali
ordinarie e sistemi dinamici. Richiami sul teorema di
esistenza,
unicità e differenziabilità delle soluzioni rispetto ai
dati iniziali.
Classificazione dei sistemi dinamici, sistemi
Hamiltoniani, sistemi gradiente. Campo
vettoriale, moti, flusso, orbite, equilibri e linee
nulle.
Sistemi
dinamici
continui unidimensionali.Punti
di equilibrio: stabilità, instabilità e stabilità
asintotica. Punti iperbolici.
Teoremi di instabilità e stabilità asintotica. Modello
di Malthus e modello
logistico. Biforcazioni.
Sistemi
dinamici
discreti unidimensionali (mappe scalari) . Mappe scalari
lineari e
logistica.
Equazioni
differenziali
non autonome. Soluzioni e spazio delle fasi esteso.
Sistemi
periodici e soluzioni. Stabilità, stabilità asintotica e
instabilità delle
soluzioni periodiche. Mappa di Poincaré.
Sistemi
dinamici
continui multidimensionali. Esempi, modello SIR per
epidemie, modelli
meccanici, cicli limite in due dimensioni, biforcazione
di Hopf.
Sistemi
lineari,
matrice principale, matrice esponenziale, stabilità
dell’equilibrio.
Sistemi lineari in due dimensioni, punti sella, sink e
source, forma normale di
Jordan.
Sistemi
non
lineari. Equilibri, relazione tra stabilità e
instabilità lineare e non
lineare. Soluzioni periodiche e orbite chiuse. Mappa di
Poincaré. Insiemi
invarianti. Integrali primi, locali e
globali. Funzione e teoremi di Lyapunov. Teorema di
Liouville sul volume nello spazio
delle fasi. Insiemi alfa e omega limite e loro
proprietà. Definizione di
Flow-box e sue proprietà.
Sistemi
piani non lineari, teorema di
Poincaré-Bendixon e applicazioni, equazione di Van der
Pol e sistemi di Lienard.
Bibliografia
[PS2]-
C. D.
Pagani, S. Salsa, “Analisi Matematica2, vol 1, 2,
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Dispense
in
rete:
[B]-G.Benettin
, Introduzione ai sistemi dinamici per la
Scuola Galileiana A.A. 2011-12 http://www.math.unipd.it/~benettin/
[GE]- G.
Gentile, “Introduzione ai sistemi dinamici”