Docente: prof. Alessandro Logar
In questa pagina si trovano varie indicazioni relative al corso di Istituzioni di Matematiche A e di Istituzioni di Matematiche B per Geologia e S.T.A.N (Scienze e Tecnologie per l'Ambiente e la Natura).
I corsi prevedono un esame scritto ed un esame orale. Gli studenti sono fortemente consigliati di sostenere l'esame nelle sessioni immediatamente successive alla fine di ciascun corso. Potranno così usufruire di un'agevolazione nella preparazione della parte scritta. Qui di seguito sono raccolti i testi degli esami scritti assegnati nelle precedenti sessione di esame.
Nella parte scritta gli studenti devono essere in grado di risolvere vari esercizi simili agli esercizi proposti a lezione (una raccolta si può trovare su questo sito).
Nella parte orale si deve dar prova di aver sufficientemente assimilato gli argomenti trattati a lezione. Una preparazione indispensabile per poter superare l'esame è la conoscenza delle definizioni dei concetti matematici trattati a lezione e la padronanza degli enunciati dei teoremi.
Nota sul corso di Istituzioni di Matematiche B. Sia gli studenti di geologia sia quelli di STAN devono seguire la prima metà del corso. L'altra metà del corso sarà tenuta dalla prof. M. Brundu (per i geologi) e comprenderà ulteriori argomenti di matematica, mentre sarà tenuta dal prof. G. Bacaro (per gli studenti di STAN) e comprenderà argomenti di statistica.
Nota per gli studenti degli anni accademici precedenti.
Gli studenti che devono sostenere un esame di 12 cfu devono seguire
modalità simili a quelle degli studenti (di geologia o stan)
del presente anno accademico.
Gli studenti degli anni accademici precedenti che devono sostenere
un esame di 9 cfu, devono sostenere un esame scritto (in unica
soluzione), seguito da un esame orale. Una conoscenza minimale
della materia comprende i seguenti argomenti: il concetto di limite
per successioni e funzioni, operazioni con i limiti, funzioni continue e
loro proprietà operazioni con le funzioni continue.
Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass.
La derivabilità, metodi per il calcolo di derivate;
i principali teoremi sulle funzioni
derivabili (teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di Lagrange,
regola di De L'Hospital), derivate successive, nozione di massimi e
minimi relativi e legame con la derivata prima, crescenza e decrescenza
di funzioni e legame con la derivata prima. Integrade indefinito e
definito di una funzione, teorema fondamentale del calcolo integrale,
regole di integrazione.
Lezione 1. Introduzione al corso. Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali e numeri reali.
Lezione 2. Assiomi che definiscono i numeri reali, definizioni di intervallo (aperto, chiuso, semiaperto, semichiuso). Il valore assoluto di un numero reale.
Lezione 3. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni invertibili, l'inversa di una funzione. Esempi.
Lezione 4. Funzioni reali crescenti, decrescenti, strettamente crescenti e strettamente decrescenti. Costruzione della potenza di un numero reale. Proprietà delle potenze.
Lezione 5. Funzione esponenziale e funzione logaritmo. Funzione seno, coseno, tangente e loro inverse.
Lezione 6. Introduzione all'algebra lineare: sistemi lineari, matrici associate ad un sistema lineare. Operazioni elementari con le matrici. Primi cenni sul metodo di eliminazione di Gauss-Jordan.
Lezione 7. Il metodo di Gauss-Jordan. Esempi trattati a lezione (con il programma di calcolo simbolico Sage).
Lezione 8.
Ancora sul metodo di Gauss-Jordan. Possibile aspetto di una matrice
dopo aver applicato il metodo di Gauss-Jordan e come procedere per ottenere
la soluzione del sistema lineare associato. Operazioni con le matrici:
prodotto di una matrice per uno scalare; prodotto righe per colonne.
In rete si trovano molti siti che visualizzano il metodo di Gauss-Jordan
(cercando su Google: applet gauss jordan si trovano molti link utili).
Ad un primo esame, molti di questi siti sembrano fatti abbastanza male.
Un sito che sembra essere di buon livello (anche se
utilizza notazioni un po' pesanti) è il seguente:
http://www.zweigmedia.com/RealWorld/tutorialsf1/scriptpivot2.html
(Per poterlo utilizzare bisogna aver abilitato Java).
Lezione 9.
Matrici quadrate. Il prodotto di matrici quadrate non
è commutativo. Matrici quadrate invertibili.
Risoluzione di un sistema lineare AX=B quando A è una matrice quadrata
di cui si conosce l'inversa. Calcolo della matrice inversa con le
operazioni elementari applicate alla matrice (A|I).
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Lezione 10. Determinante di una matrice quadrata. Formula esplicita per matrici quadrate ordine 2 e 3 (e 1). Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Vettori. Vettori liberi e vettori applicati. Modulo (o intensità) di un vettore. Vettori nel piano e loro coordinate. Somma di vettori: con la regola del parallelogramma e per mezzo delle coordinate (le coordinate del vettore somma di due vettori sono date dalla somma delle coordinate dei vettori addendi). Prodotto di un vettore per uno scalare. Le coordinate di un vettore moltiplicato per uno scalare sono le coordinate del vettore moltiplicate per lo scalare.
Lezione 11.
Vettori nello spazio. Operazioni con i vettori nello spazio: la somma di
due vettori nello spazio ha per coordinate la somma delle coordinate dei
due addendi. Prodotto di un vettore per uno scalare: si ottiene moltiplicando
le coordinate del vettore per lo scalare (come nel caso piano). Il
modulo di un vettore (nel piano e nello spazio) espresso attraverso le sue
coordinate.
Prodotto scalare di vettori: è definito come il prodotto dei moduli
per il coseno dell'angolo tra essi compreso. Il prodotto scalare di due
vettori risulta essere la somma del prodotto delle coordinate dei vettori.
Vettori ortogonali (nel piano e nello spazio). Equazione cartesiana o
implicita della retta nel piano.
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Lezione 12. Ancora sui vettori nel piano e nello spazio. Esercizi ed esempi. Come trovare una retta passante per un punto dato e parallela ad un vettore dato. Equazione parametrica della retta nel piano. Come trovare l'equazione parametrica di una retta passante per due punti dati. Passaggio dall'equazione parametrica all'equazione della retta in forma implicita.
Lezione 13. Angolo tra due rette nel piano (il suo coseno si trova facilmente dal prodotto scalare di due vettori ortogonali alle due rette). Rette ortogonali nel piano. Interpretazione geometrica dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Equazione cartesiana del piano nello spazio.
Lezione 14.
Equazione parametrica del piano nello spazio. Equazione della retta
nel piano, in forma cartesiana e in forma parametrica. Esempi ed esercizi.
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Lezione 15. Discussione esercizi dati nelle lezioni precedenti.
Lezione 16. Successioni di numeri reali. La successione di Fibonacci. Le successioni definite per ricorrenza. Definizione del limite di una successione ed esempi.
Lezione 17. Ancora sul limite di una successione. Definizione di successione divergente. Unicità del limite, il limite della somma, del prodotto e del rapporto di due successioni è dato, rispettivamente, dalla somma, dal prodotto e dal rapporto dei limiti delle due successioni (nell'ultimo caso se i denominatori sono non nulli). Il limite della potenza d-ima e della radice d-ima di una successione è la potenza d-ima o rispettivamente la radice d-ima del limite della successione. Forme indeterminate.
Lezione 18.
Ancora sulle forme indeterminate. Esempi di calcolo di limiti di
successioni che si presentano con forme indeterminate. Interesse composto e
la costante di Eulero (Nepero). Numeri periodici: come convertire un
numero periodico in forma decimale in frazione.
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Lezione 19. Il Teorema del confronto tra successioni: se tre successioni sono tali che una delle tre è maggiorata e minorata dalle altre due che hanno uno stesso limite l, allora anche la successione considerata ha per limite l. Il teorema del confronto per due successioni nel caso in cui una delle due abbia per limite infinito. Esempi di utilizzo del teorema. Esempi. Esempi di funzioni e limiti di funzioni (con il programma Sage).
Lezione 20. Limiti di funzioni. Definizione di limite nelle varie accezioni: limite di una funzione (finito o infinito) quando la variabile tende ad un valore (finito o infinito). Limite destro e limite sinistro. Legame tra limite, e limite destro e limite sinistro. Esempi.
Lezione 21.
Teoremi sui limiti di funzioni. Limiti della somma, del prodotto, del
rapporto di funzioni: il limite della somma è la somma dei limiti,
analogamente per il prodotto e per il rapporto, quando il denominatore è
non nullo. Forme indeterminate. Il teorema del confronto.
Primo esempio di domande
del test di verifica del 25 febbraio.
Lezione 22.
Le funzioni continue: funzioni continue in un punto interno ad un
intervallo, funzioni continue in uno dei due estremi dell'intervallo.
Funzioni continue in un intervallo. Somma, prodotto, rapporto di funzioni
continue danno luogo a funzioni continue (ovviamente, nel caso del rapporto,
la funzione a denominatore deve essere non nulla).
Esempi di funzioni continue. Tutte le funzioni espresse con dei polinomi
e con dei rapporti di polinomi sono continue.
La funzione ottenuta componendo due funzioni
continue è ancora continua. Le funzioni seno, coseno, logaritmo,
esponenziale ed elevamento a potenza sono continue. Esempi.
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Lezione 23.
Limiti notevoli: la funzione six(x)/x. La costante di Eulero.
Esempi di calcolo di limiti di funzioni che si presentano con
forme indeterminate.
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Secondo esempio di domande del test di verifica del 25 febbraio.
Lezione 24. Correzione esercizi precedentemente assegnati.
Lezione 25. Correzione esercizi precedentemente assegnati.
Lezione 26. Richiamo sulle funzioni continue (in un punto e in un intervallo). Proprietà delle funzioni continue.
Lezione 27. Il teorema degli zeri per funzioni continue (se f e` una funzione continua in [a, b] e se f(a)< 0 e f(b)> 0 (o viceversa), allora esiste almeno uno zero di f in ]a, b[. Tale zero si può calcolare con l'approssimazione voluta usando il metodo dicotomico. Massimi e minimi locali e globali per funzioni definite in un intervallo. Teorema di Weierstrass per le funzioni continue e teorema dei valori intermedi. Correzione esercizi assegnati nel test intermedio.
Lezione 28. La derivata di una funzione. Significato geometrico della derivata (la derivata di una funzione in un punto coincide con il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto). Significato fisico della derivata (la velocità e l'accelerazione). Derivata di una funzione in un punto e in un intervallo (la funzione derivata). Alcuni esempi: la derivata della funzione costante, la derivata della funzione f(x) = x e f(x) = 1/x.
Lezione 29. Regole di derivazione: la derivata della somma, del prodotto e del rapporto di due funzioni (le prime due con dimostrazione). La derivata della funzione x^n. Regola di derivazione della composizione di due funzioni. Esempi: calcolo della derivata di un polinomio e di una frazione di polinomi.
Lezione 30. Derivata della funzione logaritmo (con dimostrazione). Derivata delle funzioni seno, coseno, tangente. Derivata delle funzioni inverse (e^x, arcsin(x), arccos(x), arctg(x), le prime due con dimostrazione). Esempi di calcolo di derivate.
Lezione 31.
Richiamo sui massimi e minimi locali e assoluti. Teorema di Fermat: se
una funzione f è derivabile in un massimo o minimo relativo,
allora la derivata vale zero (cenno di dimostrazione).
Teorema di Rolle (Se f e`
continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[ e se
f(a) = f(b), allora esiste un punto in ]a, b[ dove la derivata
vale zero) (cenno di dimostrazione). Teorema di Lagrange.
Una conseguenza del teorema di Lagrange: se
una funzione ha derivata nulla, allora è una funzione constante.
Funzioni crescenti, strettamente crescenti, decrescenti,
strettamente decrescenti.
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Lezione 32. Una funzione derivabile, è crescente in un intervallo se e solo se ha derivata non negativa. Analogamente per le funzioni decrescenti. Se una funzione ha derivata positiva in un intervallo, allora è strettamente crescente in quell'intervallo (ma non viceversa). Utilizzo del teorema di Lagrance per dare un cenno di dimostrazione di questi risultati. Esempi. Derivate della funzione esponenziale (con base qualunque) e della funzione potenza. Derivate successive.
Lezione 33. Integrali definiti. Il problema dell'area. Definizione di integrale secondo Riemann (o integrale definito). Le funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato, sono integrabili secondo Riemann (senza dimostrazione). Proprietà degli integrali definiti. Funzioni primitive e definizione di integrale indefinito. Due funzioni primitive differiscono per una costante.
Lezione 34.
Teorema fondamentale del calcolo integrale (con cenno di dimostrazione).
Utilizzo del teorema per calcolare aree. Esempi.
Alcune regole per il calcolo di primitive. Integrazione per parti. Esempi.
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Lezione 35. Regola di de l'Hospital per il calcolo di limiti di forme indeterminate. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Esempi.
Lezione 36.
Studio del grafico di una funzione. Esempi.
Scarica gli esercizi riassuntivi.
Lezioni successive.
Lezione 37. Funzioni di due variabili reali: definizione, dominio, immagine, grafico, curve di livello. Esempi.
Lezione 38. Limiti di funzioni di due variabili reali. Un esempio di non esistenza del limite di una funzione. Continuità. Derivate parziali e derivate direzionali. Vettore gradiente. Derivate direzionali in funzione del gradiente.
Lezione 39. Teorema del valor medio per funzioni di due variabili reali. Equazione del piano tangente al gafico. Punti critici. Piano tangente in un punto critico. Esempi.
Lezione 40. Esempi ed esercizi sul calcolo di derivate parziali, punti critici e piano tangente.
Lezione 41. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Esempi. Matrice hessiana e determinante hessiano. Richiamo: test della derivata seconda per funzioni di una variabile reale.
Lezione 42. Criterio hessiano per la ricerca di estremi locali e punti di sella di funzioni di due variabili reali. Esempi.
Lezione 43. Polinomio di Taylor di funzioni di una e due variabili reali. Esempi e confronto di grafici.
Lezione 44. Integrale di Riemann di funzioni di due variabili reali.
Lezione 45. Formule di riduzione di integrali doppi.
Lezione 46. Esempi ed esercizi su integrali doppi di funzioni di due variabili reali su regione piana. Integrali doppi: alcuni esercizi svolti.
Lezione 47. Numeri complessi: definizione e loro proprietà. Rappresentazione cartesiana e polare.
Lezione 48. Esercizi sui numeri complessi. Scarica gli esercizi sui numeri complessi.
Lezione 49.
Studio di funzioni di due variabili reali: dominio, punti
critici, ricerca di estremi locali e selle con il criterio hessiano.
Massimi e minimi di funzioni in più variabili:
scarica gli esercizi.