Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Anno accademico 2010/2011

Programma del corso di
Equazioni Differenziali
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda


1. Alcune premesse sugli spazi di Hilbert

Lo spazio di Hilbert. Alcuni esempi di spazi di Hilbert. Proprietà fondamentali. Sottospazi. Sottospazi ortogonali. la proiezione ortogonale. Basi di uno spazio di Hilbert. Applicazioni lineari tra spazi di Hilbert.

2. Operatori in spazi di Hilbert

Definizioni e prime proprietà. L'operatore aggiunto. Insieme risolvente e spettro. Operatori autoaggiunti. Operatori in spazi di Hilbert reali.

3. Introduzione al problema semi-lineare

Il problema periodico. Proprietà dell'operatore differenziale. L'equazione lineare. Il teorema delle contrazioni. Nonrisonanza: esistenza e unicità. Equazioni in spazi di Hilbert.

4. Il grado topologico

Il grado di Brouwer: esistenza e unicità. Il grado di Leray-Schauder.

5. Nonrisonanza e grado topologico

L'uso del Teorema di Schauder. Sotto-soluzioni e sopra-soluzioni. Il principio di continuazione. Oscillatori asimmetrici. Non risonanza nonlineare. Condizioni non bilaterali. Il problema di Ambrosetti - Prodi.

6. Giocando attorno alla risonanza

La disuguaglianza di Wirtinger. Condizioni di Landesman - Lazer per l'oscillatore simmetrico. Risonanza con il primo autovalore e con gli autovalori successivi. Condizioni di Landesman - Lazer per l'oscillatore asimmetrico.

Argomenti aggiuntivi:

7. Il metodo variazionale


Definizione del funzionale. Minimizzazione. Il principio di Ekeland. La ricerca dei punti di sella. Il teorema del passo di montagna.

8. Di nuovo in risonanza

Risonanza con il primo autovalore e con gli autovalori successivi. La condizione di Ahmad-Lazer-Paul. Nonlinearità periodiche: l'equazione del pendolo forzato.


      TESTI CONSIGLIATI:

        1. M. Spivak, "Calculus on manifolds", Ed. Benjamin, Amsterdam, 1965.
        2. G. Helmberg, "Spectral theory in Hilbert space" , Ed. North-Holland, Amsterdam, 1969
        3. J. Von Neumann, "Mathematical foundations of quantum mechanics", Princeton Univ. Press, 1983.
        4. N. G. Lloyd, "Degree theory", Cambridge Univ. Press, 1978.
        5. J. Mawhin e M. Willem, "Critical point theory and Hamiltonian systems", Springer, Heidelberg, 1989.