Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Studi in Fisica
Anno accademico 2005/2006


Programma del corso di
Elementi di Analisi Superiore
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda

1. Curiosità matematiche

I l paradosso di Banach - Tarski. Cenni sulla teoria della misura, con particolare attenzione alla misura e dimensione di Hausdorff. Insiemi autosimilari e insiemi frattali. L'insieme di Mandelbrot e gli insiemi di Julia. Cenni sui sistemi caotici.

2. Forme differenziali

Lo spazio delle applicazioni M-lineari antisimmetriche. Definizione di una M-forma differenziale. Componenti di una forma differenziale e campo di vettori associato. Prodotto esterno, differenziale esterno. Rotore e divergenza di un campo di vettori. Parametrizzazioni e M-superfici. Integrale di una M-forma differenziale su una M-superficie. Integrale di linea, di superficie (flusso) e di volume. Incollamenti, bordo orientato di un rettangolo e di una M-superficie. La formula di Gauss e il teorema di Stokes-Cartan. Formule di Stokes-Ampère, Stokes-Ostrogradski e Gauss-Green. La formula di Stokes-Cartan sulle varietà differenziali.

3. Teoria spettrale in spazi di Hilbert

Prodotto scalare, norma, distanza. Disuguaglianza di Schwarz.  Definizione di spazio di Hilbert. Varietà lineari, sottospazi. Vettori e sottospazi ortogonali, proiezioni. Base di uno spazio di Hilbert, separabilità. Sviluppi in serie di Fourier. Applicazioni lineari. Limitatezza e continuità. Teorema di Riesz. Forme bilineari e forme quadratiche ad esse associate. Operatore aggiunto. Operatori autoaggiunti. Spettro di un operatore, autovalori, autovalori generalizzati. Serie di Neumann. Compattezza dello spettro di un operatore limitato. Spettro di un operatore autoaggiunto. Funzioni di operatori: polinomi, funzioni continue, funzioni a gradini. Teorema spettrale per un operatore autoaggiunto limitato. Cenni sull’estensione della teoria ad operatori non limitati.


TESTI CONSIGLIATI:

1. A. Fonda, "Lezioni sulla teoria dell'integrale", Ed. Goliardica, Trieste, 2001.
2. S. Wagon, The Banach-Tarski paradox, Cambridge Univ. Press, 1981.
3. K. Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, 1985.
4. G. Prodi, "Lezioni di analisi matematica , parte II", Ed. ETS, Pisa, 1984.
5. M. Spivak, "Calculus on manifolds", Ed. Benjamin, Amsterdam, 1965.
6. G. Helmberg, "Spectral theory in Hilbert space" , Ed. North-Holland, Amsterdam, 1969.
7. F. Riesz e B. Nagy, "Lecons d'analyse fonctionnelle", Academie des Sciences de Hongrie, Budapest, 1952.
8. J. Von Neumann, "Mathematical foundations of quantum mechanics", Princeton Univ. Press, 1983.


Appunti del corso

Tesina sui frattali