Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Studi in Matematica
Anno accademico 2020/2021
Programma del corso di
Analisi 3
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda

1. Equazioni differenziali ordinarie
Problema di Cauchy ed equazione integrale equivalente. Teorema di esistenza locale in ipotesi di Lipschitz. Cenni ai teoremi di esistenza globale. Risoluzione di equazioni lineari e a variabili separabili. Stabilità dei punti di equilibrio. Studio qualitativo nello spazio delle fasi. Il fenomeno della risonanza.

2. Integrale di Riemann per funzioni di più variabili
Integrale su un rettangolo: definizione e proprietà elementari. La formula di riduzione. Integrale su domini più generali. La misura di Peano-Jordan. Formula di cambiamento di variabili nell'integrale. Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Integrale di funzioni non limitate o definite su insiemi non limitati.

3. Integrale di funzioni scalari su una M-superficie
Parametrizzazioni e M-superfici. Integrale di una funzione scalare su una M-superficie. Lunghezza di una curva, area di una superficie. L'esempio di Peano-Schwarz.

4. Integrale di forme differenziali su una M-superficie
Definizione di M-forma differenziale. Componenti di una forma differenziale e campo di vettori associato. Prodotto esterno, differenziale esterno. Rotore e divergenza di un campo di vettori. Integrale di una M-forma differenziale su una M-superficie. Integrale di linea, di superficie (flusso) e di volume. Incollamenti, bordo orientato di un rettangolo e di una M-superficie. La formula di Gauss e il teorema di Stokes-Cartan. Formule di Stokes-Ampère, Gauss-Ostrogradski e Gauss-Green. La formula di Stokes-Cartan sulle varietà differenziabili (cenni). Forme differenziali chiuse ed esatte: il teorema di Poincaré.


      TESTI CONSIGLIATI:

       1. A. Fonda, "Lezioni sulla teoria dell'integrale", Ed. Goliardica, Trieste, 2001.
       2. C. Pagani e S. Salsa, "Analisi matematica, volume 2", Ed. Masson, Milano, 1993.
       3. G. Prodi, "Lezioni di analisi matematica II", Ed. ETS, Pisa, 1970.
       4. M. Spivak, "Calculus on manifolds", Ed. Benjamin, Amsterdam, 1965.



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