Diario delle lezioni di Istituzioni di
Analisi Superiore modulo B - A.A. 2014/15
2 marzo 2015, 11.00-13.00
Richiami sulla nozioni di
derivabilità. Esempio di funzione non derivabile in
nessun punto. Abbondanza delle
funzioni continue
non derivabili in nessun punto. Derivate di Dini. (Mc Carthy, Amer.
Math. Monthly 1953, p. 709; Hewitt-Stromberg, Ch.
5, §17).
3 marzo 2015,
9.00-11.00
Numerabilità
dei
punti
con
spigoli
o
cuspidi.
Teorema di
Lebesgue sulla derivabilità delle funzioni monotone. Punti
invisivibili a destra e dimostrazione del teorema di Lebesgue solo nel
caso di funzioni continue (Hewitt-Stromberg,
Ch.
5,
§17; Kolmogorov-Fomin, Cap. VI).
9 marzo 2014, 11.00-13.00
Concluisione
della
dimostrazione
del
teorema
di
Lebesgue.
Teorema
di
Tonelli
sulla derivabiltà della somma di una serie di funzioni
monotone. Generalità sulle funzioni a
variazione limitata. Le funzioni a
variazione limitata sono derivabili quasi ovunque (Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §17 e §18).
10 marzo 2014, 9.00-11.00
Derivata della
funzione integrale di una funzione di L^1. Generalità
sulla
funzioni
assolutamente
continue.
Assoluta
continuità
dell'integrale. Funzioni
assolutamente continue
(Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §18).
16 marzo 2015, 11.00-13.00
Le
funzioni
assolutamente
continue
sono
tutte e sole le
funzioni a varazione limitata che sono funzioni integrali di funzioni
L^1. Osservazioni
sul
teorema
fondamentale
del
calcolo
in
versione
Riemann
e
Lebesgue.
Funzione
singolare
di
Lebesgue.
Integrazione
per
parti
in
L^1 (Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §18).
23 marzo 2015, 11.00-13.00
Generalità
su
misure
con
segno
e
misure
complesse.
Decomposizione
di Hahn di una
misura con segno. Dimostrazione
del teorema di decomposizione di Hahn. Variazione positiva e negativa
di una misura con segno. Variazione totale di una misura con segno e
sua definizione alternativa. Variazione di una misura complessa. Misure
assolutamente continue rispetto a una misura positiva (Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §19).
24 marzo 2015, 9.00-11.00
Teorema di Radon
Nykodim
(dimostrazione solo nel caso di due misure positive). Osservazioni
sulla misura di Lebesgue-Stieltjes su R (Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §19). Derivata
simmetrica
di una misura con segno o complessa sui boreliani. Funzione massimale
di Hardy e Littlewood di una misura. Il lemma di Wiener
(Rudin,
Real
and Complex Analysis, Ch. 8).
30 marzo 2015,
11.00-13.00
Teorema
massimale di
Hardy
e
Littlewood.
Punti
di
lebesgue
per
un
funzione
di
L^1
(Rudin,
Real
and Complex Analysis, Ch. 8).
Per una funzione
di L^1 quasi
ogni
punto
è
punto
di
Lebesgue.
Considerazioni
finali
ruguardanti
il
rapporto
tra
densità
di
una
misura
assolutamente continua
rispetto alla misura di Lebesgue e derivata simmetrica della misura
stessa.
(Rudin, Real
and Complex Analysis, Ch. 8). Risultati
propedeutici alla teoria delle distribuzioni. Teorema di densità
di C_0 in L^1 (senza dimostrazione). Teorema di densità di C_0
in L^p, con p in [1,+\infty[. Convoluzione di funzioni di L^p.
Disuguaglianza di Young (senza dimostrazione). Regolarità della
convoluzione (senza dimostrazione).
Funzioni test.
Famiglie di
mollificatori (Brezis, Ch.4,
§3 e §4;
Hörmander, Ch.1, §2).
31 marzo 2015, 9.00-11.00
Teoremi di approssimazione con le mollificate, in C_0 e
in L^p. Partizione dell'unità. Definizione di
distribuzione. Esempi
significativi: funzioni L^1_loc, delta di Dirac. Un'osservazione sulle
misure di Radon positive e non,
le misure di Radon positive sono distribuzioni di ordine zero. Il
teorema di rappresentazione di Riesz (solo enunciato). Una definizione
equivalente di distribuzione che fa uso della nozione di convergenza
di una successione di funzioni test nel senso di D(\Omega) (Hörmander,
Ch.1, §2 e §3).
13 aprile 2015, 11.00-13.00
Esempio di una
distribuzione di ordine superiore a zero (dipolo). Esempio di una
distribuzione di ordine infinito. Teorema
di località di una distribuzione (Hörmander, Ch.1, §3). Supporto di una
distribuzione. Derivata di una
distribuzione. La derivata di una distribuzione è una
distribuzione. Esempi di derivazione, la funzione di Heaviside. Il teorema di
struttura locale delle
distribuzioni (ogni distribuzione è localmente derivata di una
funzione limitata) (Hörmander, Ch.1,
§3).
14 aprile 2015, 9.00-11.00
Moltiplicazione
di una distribuzione con una funzione C^\infty. Regola di derivazione
di un prodotto di una distrubuzione per una funzione C^\infty. Il lemma
di Du Bois-Reymond (Hörmander,
Ch.1, §4).
Alcuni esercizi sulle distribuzioni (J.-M. Bony, Cours
d'analyse - Théorie des distributions et analyse de Fourier,
Éditions de l'École Polytechnique, 2001). Distribuzioni a
supporto compatto. Estensione di una distribuzione a supporto compatto
alle funzioni C^\infy. Topologia di Fréchet delle funzioni
C^\infty.
20 aprile 2015, 11.00-13.00
Convoluzione di una distribuzione con una
funzione test (Hörmander,
Ch.1, 5§ e §6).
Approssimazione
di
distribuzioni
con
funzioni
C^\infty.
Continuità
dell'operazione
di
convoluzione
tra le funzioni test
e le funzioni C^\infty. (Hörmander,
Ch.1, §5).
Definizione di
convoluzione di distribuzioni.
21 aprile 2015, 9.00-11.00
Generalità sulla trasformata di
Fourier di un funzione L^1. Lemma di Riemann-Lebesgue. Calcolo di
alcune traformate di Fourier. Un lemma sulla derivazione sotto il segno
di intergrale. La trasformata di Fourier della funzione gaussiana (Hörmander,
Ch.1, §6 e §7).
Lo spazio di
Schwartz. Inclusioni topologighe tra lo spazio di Schwartz, lo spazio
delle funzioni test e lo spazio delle funzioni C^\infty. Azione della
trasformata di Fourier sullo spazio di Schwartz.
24 aprile 2015, 11.00-13.00
Il
teorema di
inversione. La trasformata di Fourier della funzione di Heaviside
27 aprile 2015, 11.00-13.00
Il teorema di Plancherel.
La
formula di Parseval. Osservazioni sulle funzioni analitiche e
analitiche intere. Osservazioni sulla trasformata di
Fourier-Lapalace di una funzione continua a supporto compatto e sulla
trasformata di Fourier-Laplace di una distribuzione a supporto
compatto. La trasformata di Fourier-Lapace di una distribuzione a
supporto compatto è una funzione analitica intera (senza dim.) (Hörmander,
Ch.1, §7).
28 aprile 2015, 9.00-11.00
Spazi di Sobolev
in dimensione 1. Definizione e generalità. Rappresentante
continuo di una funzione in W^{1,p}. Caratterizzazione di W^{1,p} per p
>1 (Brezis, Ch. 8).
4 maggio 2015.
11.00-13.00
Teorema
di
prolungamento
per
riflessione e troncatura. Torema di densità di
C^\infty_0(R) in W^{1,p}(I).
Immersioni
di
Sobolev.
(Brezis,
Ch. 8).
5 maggio 2015, 9.00-11.00
Immersioni
compatte in C e L^q. Corollari alle
immersioni di Sobolev: andamento all'infinito (Brezis, Ch. 8). Proprietà
di
algebra, derivazione della composizione con una funzione C^1. Lo spazio
W^{1,p}_0 e le sue caratterizzazioni (Brezis, Ch. 8).
18 maggio 2015, 11.00-13.00
La
diseguaglianza di
Poincaré in dimensione 1. Esempi di
problemi ai
limiti: il problema di Dirichlet omogeneo e non omogeneo, il problema di
Neumann omogeneo, in dimensione 1. Il principio del massimo
(Brezis, Ch. 8).
19 maggio 2015, 9.00-11.00
Spazi di Sobolev in dimensione N:
definizioni e generalità. La caretterizzazione di H^1 su R^n
utilizzando la trasformata di Fourier. Il lemma di Friedrichs.
Caratterizzazione di W^{1,p} per p
>1 (Brezis, Ch. 9).
20 maggio 2015, 11.00-13.00
Prodotto di due
funzioni di W^{1,p} limitate in
norma L^\infty. Composizione con
una funzione C^1 (senza dim.), cambio
di variabili per funzioni in spazi di Sobolev (senza dim.). Aperti di
classe C^1. Il teorema di prolungamento: idea della dimostrazione,
riflessione e troncatura, partizione dell'unità (Brezis, Ch. 9).
25 maggio 2015, 11.00-13.00
Il teorema di
Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. Corollari al teorema
di S.-G.-N. (Brezis, Ch. 9).
25 maggio 2015, 9.00-11.00
Il
teorema di Morrey. Caso di un aperto di classe C^1 con frontiera
limitata. Il teorema di Rellich. Immersioni di
Sobolev nel caso di W^{m,p} (Brezis, Ch. 9).
29 maggio 2015, 11.00-13.00 Cenni su lo spazio W^{1,p}_0. La
disuguaglianza di
Poincaré. Esempi di problemi ai limiti: il problema di Dirichlet
e il problema di Nuemann omogenei
(Brezis, Ch. 9).