Diario delle lezioni di Istituzioni di
Analisi Superiore modulo B - A.A. 2013/14
3 marzo 2014, 11.00-13.00
Richiami sulla nozioni di
derivabilità. Esempio di funzione non derivabile in
nessun punto. Abbondanza delle
funzioni continue
non derivabili in nessun punto. Derivate di Dini. (Mc Carthy, Amer.
Math. Monthly 1953, p. 709; Hewitt-Stromberg, Ch.
5, §17).
4 marzo 2014,
9.00-11.00
Numerabilità
dei
punti
con
spigoli
o
cuspidi.
Teorema di
Lebesgue sulla derivabilità delle funzioni monotone. Punti
invisivibili a destra e dimostrazione del teorema di Lebesgue solo nel
caso di funzioni continue (Hewitt-Stromberg,
Ch.
5,
§17; Kolmogorov-Fomin, Cap. VI).
11 marzo 2014, 14.00-16.00
Teorema
di
Tonelli sulla derivabiltà della somma di una serie di funzioni
monotone. Generalità sulle funzioni a
variazione limitata. Le funzioni a
variazione limitata sono derivabili quasi ovunque. Derivata della
funzione integrale di una funzione di L^1. (Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §17 e §18).
17 marzo 2014, 11.00-13.00
Generalità
sulla
funzioni
assolutamente
continue.
Assoluta
continuità
dell'integrale. Funzioni
assolutamente continue
(Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §18).
18 marzo 2014, 9.00-11.00
Le
funzioni
assolutamente
continue
sono
tutte e sole le
funzioni a varazione limitata che sono funzioni integrali di funzioni
L^1. Osservazioni
sul
teorema
fondamentale
del
calcolo
in
versione
Riemann
e
Lebesgue.
Funzione
singolare
di
Lebesgue.
Integrazione
per
parti
in
L^1. Generalità
su misure con segno e misure complesse. Decomposizione di Hahn di una
misura con segno (Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §18 e §19).
24 marzo 2014, 11.00-13.00
Dimostrazione
del teorema di decomposizione di Hahn. Variazione positiva e negativa
di una misura con segno. Variazione totale di una misura con segno e
sua definizione alternativa. Variazione di una misura complessa. Misure
assolutamente continue rispetto a una misura positiva (Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §19).
25 marzo 2014, 9.00-11.00
Teorema di Radon
Nykodim
(dimostrazione solo nel caso di due misure positive). Osservazioni
sulla misura di Lebesgue-Stieltjes su R (Hewitt-Stromberg,
Ch. 5, §19).
Derivata
simmetrica
di una misura con segno o complessa sui boreliani. Funzione massimale
di Hardy e Littlewood di una misura. Il lemma di Wiener. Teorema
massimale di
Hardy
e
Littlewood.
Punti
di
lebesgue
per
un
funzione
di
L^1
(Rudin,
Real
and Complex Analysis, Ch. 8).
31 marzo 2014, 11.00-13.00
Per una funzione
di L^1 quasi
ogni
punto
è
punto
di
Lebesgue.
Considerazioni
finali
ruguardanti il
rapporto tra densità di una misura assolutamente continua
rispetto alla misura di Lebesgue e derivata simmetrica della misura
stessa.
(Rudin, Real
and Complex Analysis, Ch. 8). Risultati
propedeutici alla teoria delle distribuzioni. Teorema di densità
di C_0 in L^1 (senza dimostrazione). Teorema di densità di C_0
in L^p, con p in [1,+\infty[. Convoluzione di funzioni di L^p.
Disuguaglianza di Young (senza dimostrazione). Regolarità della
convoluzione (senza dimostrazione).
1 aprile 2014, 14.00-16.00
Funzioni test.
Famiglie di
mollificatori. Teoremi di approssimazione con le mollificate, in C_0 e
in L^p. Partizione dell'unità. (Brezis, Ch.4, §3 e §4;
Hörmander, Ch.1, §2). Definizione di
distribuzione. Esempi
significativi: funzioni L^1_loc, delta di Dirac.
2 aprile 2014, 9.00-11.00
Esempi di
distribuzioni di ordine 1, di
ordine infinito. Un'osservazione sulle misure di Radon positive e non,
le misure di Radon positive sono distribuzioni di ordine zero. Il
teorema di rappresentazione di Riesz (solo enunciato). Una definizione
equivalente di distribuzione che fa uso della nozione di convergenza
di una successione di funzioni test nel senso di D(\Omega).
Teorema
di località di una distribuzione (Hörmander, Ch.1, §3). Derivata di una
distribuzione. La derivata di una distribuzione è una
distribuzione. Esempi di derivazione, la funzione di Heaviside. La distribuzione
valore principale di 1/x.
7 aprile 2014, 11.00-13.00
Il teorema di
struttura locale delle
distribuzioni (ogni distribuzione è localmente derivata di una
funzione limitata). Moltiplicazione
di una distribuzione con una funzione C^\infty. Regola di derivazione
di un prodotto di una distrubuzione per una funzione C^\infty. Il lemma
di Du Bois-Reymond (Hörmander,
Ch.1, §4).
8 aprile 2014, 9.00-11.00
Alcuni esercizi sulle distribuzioni (J.-M. Bony, Cours
d'analyse - Théorie des distributions et analyse de Fourier,
Éditions de l'École Polytechnique, 2001). Distribuzioni a
supporto compatto. Estensione di una distribuzione a supporto compatto
alle funzioni C^\infy. Topologia di Fréchet delle funzioni
C^\infty. Convoluzione di una distribuzione con una
funzione test (Hörmander,
Ch.1, 5§ e §6).
14 aprile 2014, 11.00-13.00
Approssimazione
di
distribuzioni
con
funzioni C^\infty.
Continuità dell'operazione di convoluzione tra le funzioni test
e le funzioni C^\infty. (Hörmander,
Ch.1, §5).
Definizione di
convoluzione di distribuzioni. Generalità sulla trasformata di
Fourier di un funzione L^1. Lemma di Riemann-Lebesgue. Calcolo di
alcune traformate di Fourier. Un lemma sulla derivazione sotto il segno
di intergrale. La trasformata di Fourier della funzione gaussiana (Hörmander,
Ch.1, §6 e §7).
28 aprile 2014, 9.00-11.00
Lo spazio di
Schwartz. Inclusioni topologighe tra lo spazio di Schwartz, lo spazio
delle funzioni test e lo spazio delle funzioni C^\infty. Azione della
trasformata di Fourier sullo spazio di Schwartz. La trasformata
di Fourier della funzione di Heaviside.
29 aprile 2014, 9.00-11.00
Il teorema di
inversione. La formula di Parseval. Il teorema di Plancherel.
Osservazioni sulle funzioni analitiche e
analitiche intere. Osservazioni sulla trasformata di
Fourier-Lapalace di una funzione continua a supporto compatto e sulla
trasformata di Fourier-Laplace di una distribuzione a supporto
compatto. La trasformata di Fourier-Lapace di una distribuzione a
supporto compatto è una funzione analitica intera (senza dim.) (Hörmander,
Ch.1, §7).
5 maggio 2014, 11.00-13.00
Spazi di Sobolev
in dimensione 1. Definizione e generalità. Rappresentante
continuo di una funzione in W^{1,p}. Caratterizzazione di W^{1,p} per p
>1 (Brezis, Ch. 8).
7 maggio 2014, 9.00-11.00
Caratterizzazione
di
W^{1,p}
per p
>1. Teorema
di
prolungamento
per
riflessione e troncatura. Torema di densità di
C^\infty_0(R) in W^{1,p}(I).
(Brezis, Ch. 8).
12 maggio 2014, 11.00-13.00
Immersioni di
Sobolev. Immersioni compatte in C e L^q. Corollari alle
immersioni di Sobolev: andamento all'infinito (Brezis, Ch. 8).
13 maggio 2014, 9.00-11.00
Proprietà
di
algebra, derivazione della composizione con una funzione C^1. Lo spazio
W^{1,p}_0 e le sue caratterizzazioni. La diseguaglianza di
Poincaré. (Brezis, Ch. 8).
19 maggio 2014, 11.00-13.00
Teoremi di buona
posizione del problema di Cauchy per l'equazione delle onde in spazi di
sobolev. Il problema per l'equazione di Klein-Gordon e per l'equazione
con smorzamento (lezione tenuta dal prof. Reissig nell'ambito dello
scambio Erasmus, in compresenza con il titolare del corso).
20 maggio 2014,
11.00-13.00
Conservazione e
decadimento dell'energia per equazioni iperboliche di vario tipo
(lezione tenuta dal prof. Reissig nell'ambito dello scambio Erasmus, in
compresenza con il titolare del corso).
26 maggio 2014, 11.00-13.00
Esempi di
problemi ai
limiti: il problema di Dirichlet omogeneo. Il problema di
Neumann omogeneo in dimensione 1. Spazi di Sobolev in dimensione N:
definizioni e generalità. Il lemma di Friedrichs.
Caratterizzazione di W^{1,p} per p
>1 (Brezis, Ch. 9).
28 maggio 2014, 9.00-11.00
Prodotto di due
funzioni di W^{1,p} limitate in
norma L^\infty (senza dim.). Composizione con
una funzione C^1 (senza dim.), cambio
di variabili per funzioni in spazi di Sobolev (senza dim.). Aperti di
classe C^1. Il teorema di prolungamento: idea della dimostrazione,
riflessione e troncatura, partizione dell'unità. Densità di
C^\infty_0 (R^n) in W^{1,p} su un aperto
di classe C^1. Il teorema di
Sobolev-Gagliardo-Nirenberg (Brezis, Ch. 9).
4 giugno 2014, 9.00-11.00
Corollari al teorema
di S.-G.-N. Il
teorema di Morrey. Caso di un aperto di classe C^1 con frontiera
limitata. Il teorema di Rellich (senza dim.).
Immersioni di
Sobolev nel caso di W^{m,p}. Cenni su lo spazio W^{1,p}_0,
Caratterizzazione
delle funzioni continue in W^{1,p}_0 (senza dim). La disuguaglianza di
Poincaré (senza dim.)
(Brezis, Ch. 9).