Diario delle lezioni di Istituzioni di Analisi Superiore modulo B


4 marzo 2013, 11.00-13.00
Richiami sulla nozioni di derivabilità. Esempio di funzione non derivabile in nessun punto. Abbondanza delle funzioni continue non derivabili in nessun punto. Derivate di Dini. Numerabilità dei punti con spigoli o cuspidi. (Mc Carthy, Amer. Math. Monthly  1953, p. 709; Hewitt-Stromberg, Ch. 5, §17).

5 marzo 2013, 9.00-11.00
Ricoprimenti di Vitali. Lemma sui ricoprimenti di Vitali (senza dim.). Teorema di Lebesgue sulla derivabilità delle funzioni monotone. Teorema di Tonelli sulla derivabiltà della somma di una serie di funzioni monotone. (Hewitt-Stromberg, Ch. 5, §17; Royden, Real Analysis, Ch. 5).

11 marzo 2013, 11.00-13.00
Generalità sulle funzioni a variazione limitata. Le funzioni a variazione limitata sono derivabili quasi ovunque. Derivata della funzioni integrale di una funzioni di L^1. (Hewitt-Stromberg, Ch. 5, §17 e §18).

12 marzo 2013, 9.00-11.00
Generalità sulla funzioni assolutamente continue. Assoluta continuità dell'integrale. Le funzioni assolutamente continue sono tutte e sole le funzioi a varazione limitata che sono funzioni integrali di funzioni L^1. Osservazioni sul teorema fondamentale del calcolo in versione Riemann e Lebesgue. (Hewitt-Stromberg, Ch. 5, §18).

18 marzo 2013, 11.00-13.00
Integrazione per parti in L^1. Generalità su misure con segno e misure complesse. Decomposizione di Hahn di una misura con segno. Variazione positiva, negativa e totale di una misura con segno. Variazione totale di una misura complessa. (Hewitt-Stromberg, Ch. 5, §18 e §19).

19 marzo 2013, 9.00-11.00
Misure assolutamente continue rispetto a una misura positiva. Teorema di Radon Nikodym (dimostrazione solo nel caso di due misure positive). Osservazioni sulla misura di Lebesgue-Stieltjes su R (Hewitt-Stromberg, Ch. 5, §19). Derivata simmetrica di una misura con segno o complessa sui boreliani. Funzione massimale di Hardy e Littlewood di una misura. Il lemma di Wiener. (Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 8).

26 marzo 2013, 9.00-11.00
Teorema massimale di Hardy e Littlewood. Punti di lebesgue per un funzione di L^1. Per una funzione di L^1 quasi ogni punto è punto di Lebesgue. Considerazioni finali ruguardanti il rapporto tra densità di una misura assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue e derivata simmetrica della misura stessa. (Rudin, Real and Complex Analysis, Ch. 8).

26 marzo 2013, 11.00-13.00
Risultati propedeutici alla teoria delle distribuzioni. Teorema di densità di C_0 in L^1 (senza dimostrazione). Teorema di densità di C_0 in L^p, con p in [1,+\infty[. Convoluzione di funzioni di L^p. Disuguaglianza di Young (senza dimostrazione). Regolarità della convoluzione (senza dimostrazione). Funzioni test. Famiglie di mollificatori. Teoremi di approssimazione con le mollificate, in C_0 e in L^p. Partizione dell'unità. (Brezis, Ch.4, §3 e §4; Hörmander, Ch.1, §2).

8 aprile 2013, 11.00-13.00
Definizione di distribuzione. Esempi significativi: funzioni L^1_loc, delta di Dirac. Distribuzioni di ordine finito e infinito. Esempi di distribuzioni di ordine 1, di ordine infinito. Un'osservazione sulle misure di Radon positive e non. Le misure di Radon positive sono distribuzioni di ordine zero. Il teorema di rappresentazione di Riesz (solo enunciato). Una definizione equivalente di distribuzione che fa uso della noszione di convergenza di una successione di funzioni test nel senso di D(\Omega). Nozione di supporto di una distribuzione. Uguaglianza del supporto di una funzione continua, nel senso classico e nel senso delle distribuzioni. Teorema di località di una distribuzione (Hörmander, Ch.1, §3).

9 aprile 2013, 9.00-11.00
Derivata di una ditribuzione. La derivata di una distribuzione è una distribuzione. Esempi di derivazione, la funzione di Heaviside. La distribuzione valore principale di 1/x. Il teorema di struttura locale delle distribuzioni (ogni distribuzione è localmente derivata di una funzione limitata) (Hörmander, Ch.1, §4).

15 aprile 2013, 11.00-13.00
Moltiplicazione di una distribuzione con una funzione C^\infty. Regola di derivazione di un prodotto di una distrubuzione per una funzione C^\infty. Il lemma di Du Bois-Reymond. Alcuni esercizi sulle distribuzioni (Hörmander, Ch.1, §4).

22 aprile 2013, 11.00-13.00
Distribuzioni a supporto compatto. Estensione di una distribuzione a supporto compatto alle funzioni C^\infy. Topologia di Fréchet delle funzioni C^\infty.  Convoluzione di una distribuzione con una funzione test. Approssimazione di distribuzioni con funzioni C^\infty. Continuità dell'operazione di convoluzione tra le funzioni test e le funzioni C^\infty. (Hörmander, Ch.1, §5).

29 aprile 2013, 11.00-13.00
Definizione di convoluzione di distribuzioni. Generalità sulla trasformata di Fourier di un funzione L^1. Lemma di Riemann-Lebesgue. Calcolo di alcune traformate di Fourier. Un lemma sulla derivazione sotto il segno di intergrale. La trasformata di Fourier della funzione gaussiana (Hörmander, Ch.1, 65, §7).

30 aprile 2013, 9.00-11.00
Lo spazio di Schwartz. Inclusioni topologighe tra lo spazio di Schwartz , lo spazio delle funzioni test e lo spazio delle funzioni C^\infty. Azione della trasformata di Fourier sullo spazio di Schwartz. Il teorema di inversione. La formula di Parseval. Il teorema di Plancherel (Hörmander, Ch.1, §7).

6 maggio 2013, 11.00-13.00
La trasformata di Fourier della funzione di Heaviside. Funzioni analitiche e analitiche intere, condizione sufficiente. Trasformata di Fourier-Lapalace di una funzione continua a supporto compatto. Trasformata di Fourier-Laplace di una distribuzione a supporto compatto. La trasformata di Fourier-Lapace di una distribuzione a supporto compatto è una funzione analitica intera. Il teorema di Paley-Wiener (senza dim.) (Hörmander, Ch.1, §7).

7 maggio 2013, 9.00-11.00
Spazi di Sobolev in dimensione 1. Definizione e generalità. Rappresentante continuo di una funzione in W^{1,p}. Caratterizzazione di W^{1,p} per p >1 (Brezis, Ch. 8).

13 maggio 2013, 11.00-13.00
Teorema di prolungamento per riflessione e troncatura. Torema di densità di C^\infty_0(R) in W^{1,p}(I). Immersioni di Sobolev. Immersioni compatte in C e L^q (Brezis, Ch. 8).

14 maggio 2013, 9.00-11.00
Corollari alle immersioni di Sobolev: andamento all'infinito, proprietà di algebra, derivazione della composizione con una funzione C^1. Lo spazio W^{1,p}_0. La diseguaglianza di Poincaré. Esempi di problemi ai limiti: il problema di Dirichlet omogeneo (Brezis, Ch. 8).

20 maggio 2013, 11.00-13.00
Il problema di Neumann omogeneo in dimensione 1. Spazi di Sobolev in dimensione N: definizioni e generalità. Il lemma di Friedrichs. Caratterizzazione di W^{1,p} per p >1 (Brezis, Ch. 9).

21 maggio 2013, 9.00-11.00
Prodotto di due funzioni di W^{1,p} limitate in norma L^\infty. Composizione con una funzione C^1 (senza dim.), cambio di variabili per funzioni in spazi di Sobolev (senza dim.). Aperti di calesse C^1. Il teorema di prolungamento: idea della dimostrazione, riflessione e troncatura, partizione dell'unità. Densità di C^\infty_0 (R^n) in W^{1,p} su un aperto di classe C^1. Un lemma di integrazione (Brezis, Ch. 9).

21 maggio 2013, 14.00-16.00
Il teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. Corollari al teorema di S.-G.-N. Il teorema di Morrey. Caso di un aperto di classe C^1 con frontiera limitata. Il teorema di Rellich (Brezis, Ch. 9).

27 maggio 2013, 11.00-13.00
Immersioni di Sobolev nel caso di W^{m,p}, Lo spazio W^{1,p}_0. Caratterizzazione delle funzioni continue in W^{1,p}_0 (senza dim). La disuguaglianza di Poincaré. Un esempio di problema ai limiti per il laplaciano. (Brezis, Ch. 9).

28 maggio 2013, 9.00-11.00
Equazione di Navier-Stokes. Presentazione del modello matematico: equazione di continuità, bilancxio della qunatità di moto, forze agenti sul fluido. Soluzioni deboli nel senso di Leray-Hopf dell'equazione di Navier-Stokes (G. Galdi, An intoduction to the Navier-Stokes Initial-Boundary Value problem, Ch. 3, http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/Oberwolfach-Seminar/Galdi_Navier_Stokes_Notes.pdf).

28 maggio 2013, 14.00-16.00
Il teorema di esistenza delle soluzioni dell'equazione di Navier-Stokes. Cenno della dimostrazione (G. Galdi, An intoduction to the Navier-Stokes Initial-Boundary Value problem, Ch. 3, http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/Oberwolfach-Seminar/Galdi_Navier_Stokes_Notes.pdf).