Diario delle lezioni di Analisi 3
modulo A
2 ottobre 2012, 9.00-11.00
Nozione di distanza e di spazio
metrico. Esempi notevoli: R con la distanza euclidea, R^n con la
distanza euclidea e richiamo della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz,
distanza-1 e distanza-infinito, altre distanze particolari. Topologia
indotta da una distanza: palle aperte e chiuse, intorni, insiemi aperti
e loro proprietà, punti di accumulazione, insieme derivato,
insiemi chiusi e chiusura di un insieme. Teorema di caratterizzazione
della chiusura tramite il derivato. Metriche topologicamente
equivalenti, condizione sufficiente all'equivalenza delle metriche.
4 ottobre 2012,
14.00-16.00
Successioni in
uno spazio metrico, successioni convergenti e successioni di Cauchy.
Successioni e topologia di una spazio metrico, caratterizzazione dei
chiusi e della chiusura tramite le successioni. Funzioni continue tra
spazi metrici. Continuità in un punto e continuità
globale. Esercizi sulla continuità (rispetto alla metrica
euclidea) delle funzioni definite su R^n a valori in R.
8 ottobre 2012,
11.00-13.00
Norma su uno
spazio vettoriale. Distanza generata da una norma. Topologia
prodotto su un prodotto cartesiano di spazi metrici o topologici. La
topologia generata da una norma rende continue le operazioni di somma e
prodotto per uno scalare. Nozione di spazio topologico vettoriale.
Esempi di spazi normati. Disuguaglianza di Young. Disuguaglianza di
Hölder in R^n. Disuguaglianza di Minkowski per le norme p in R^n.
Applicazioni lineari tra spazi normati. Per una funzione lineare tra
spazi normati la continuità equivale alla limitatezza. Lo spazio
normato delle lineari e continue tra due spazi normati.
11 ottobre 2012,
14.00-16.00
Funzioni lineari
e continue tra spazi normati. Una funzione lineare da R^n a uno spazio
normato di dimensione finita è sempre continua. Una funzione
lineare biiettiva tra R^n e uno spazio normato è continua con
inversa continua. Norme equivalenti. Su R^n e sugli spazi normati di
dimensione finita tutte le norme sono equivalenti. Esempi di norme non
equivalenti. Esercizi sugli spazi normati.
Funzioni
differenziabili tra spazi normati. Nozione di derivata direzionale per
una funzione definita su un aperto di R^n a valori in R.
16 ottobre 2012, 9.00-11.00
Esempi di derivate direzionali in R^n e in spazi di dimensione
infinita. Derivate direzionali e derivate parziali. Significato delle
derivate parziali. Studio di condizioni che garantiscano la
continuità delle funzioni definite su R^n. Definizione di
funzione differenziabile. Definizione di differenziale. Unicità
del differenziale.
19 ottobre 2012, 9.00-11.00
Funzioni differenziabili tra spazi normati. Differenziabilità
implica continuità. Rapporto tra differenziale, derivate
direzionali e derivate parziali. Teorema del differenziale totale.
Interpretazione geometrica della differenziabilità. Piano
tangente al grafico di una funzione. Funzioni differenziabili da R^n a
R^m. Matrice jacobiana. Differenziale della funzione composta.
23 ottobre 2012, 9.00-11.00
Differenziale della funzione composta, dimostrazione della formula.
Esempi di derivazione di funzioni composte. Derivate di ordine
superiore. Formula di Taylor con resto in forma integrale, per funzioni
di una variabile.
26 ottobre 2012,
9.00-11.00
Formula di
Taylor con il resto di Peano nel caso di una funzione di più
varaibili. Formula al secondo ordine e matrice hessiana. Forme
quadratiche definite positive, negative e indefinite. Condizione di
positività e autovalori, teorema di Sylvester. Punti critici e
massimi o minimi locali liberi per funzioni di più variabili.
Punti di sella. Esempi di studio dei punti critici.
29 ottobre 2012,
9.00-11.00
Esercizi su
massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili. Valori
assunti da una forma quadratica e autovalori della matrice associata.
Funzioni armoniche e principio del massimo debole. Funzioni
positivamente omogenee e teorema di Eulero. Massimo tasso di variazione
e gradiente.
30 ottobre 2012,
9.00-11.00
Funzioni
definite in forma implicita, teorema del Dini. Esempi.
6 novembre 2102,
9.00-11.00
Ortogonalità
tra
gradiente
e
curve
di
livello
di
una
funzione.
Minimi
e massimi
vincolati, caso del vincolo espresso tramite il grafico di una
funzione, in forma parametrica e tramite una funzione implicita.
Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Interpretazione geometrica e
condizione di pararllelismo tra il gradiente della funzione e il
vettore normale al vincolo. Esempi.
8 novembre 2012,
9.00-11.00
Il metodo dei
moltiplicatori di Lagrange nel caso di vincolo dato da una funzione a
più componenti. Cenno della dimostrazione. Esercizi su minimi e
massimi liberi e vincolati.
13 novembre
2012,
9.00-11.00
Spazi metrici
completi. Esempi importanti di spazi completi: B(X,Y), C_B(X,Y) con la
distanza del sup. Spazi metrici totalmente limitati. Caratterizzazione
degli spazi metrici sequenzialmente compatti. Ricoprimenti e
sottoricoprimenti.
16 novembre
2012,
9.00-11.00
Il teorema di
Banach-Caccioppoli. Applicazione del teorema delle contrazioni nella
dimostrazione del teorema della funzione implicita in R^n. Il teorema
di Brower in dimensione 1.
20 novembre
2012,
9.00-11.00
Il teorema di
invertibilità locale in R^n. Il teorema di Brower in R^2:
riduzione del problema ad un triangolo equilatero, lemma di Sperner,
dimostrazione del teorema di Brower in R^2. Successioni e serie di
funzioni. Richiamo della nozione di convergenza puntuale e uniforme. Un
lemma sulla condizione di Cauchy per la convergenza uniforme. l'M-test
di Weierstrass per la convergenza uniforme.
23 novembre 2012, 9.00-11.00
Il teorema dei due limiti. Passaggio al limite sotto il segno di
integrale e sotto il segno di derivata. Esercizi sulla convergenza
puntuale e uniforme delle successioni.
27
novembre 2012, 9.00-11.00
Dimostrazione del teorema di passaggio al limite sotto il segno di
integrale. Continuità del funzionale integrale sullo spazio
metrico delle funzioni continue su un intervallo. Serie di potenze.
Lemma di Abel, Raggio di covergenza di una serie di potenze. Teorema di
Cauchy-Hadamard. Serie derivata. Raggio di convergenza della serie
derivata. Regolarità della funzione somma di una serie di
potenze.
29
novembre 2012, 9.00-11.00
Esempi di calcolo di somme di serie di potenze usando i teoremi di
derivazione e integrazione. Sviluppabilità in serie di Taylor.
Condizione sufficiente alla sviluppabilità in serie di Taylor.
Funzioni analitiche. Esempi di sviluppi in serie di Taylor. La serie
binomiale.
29
novembre 2012, 14.00-16.00
Esercizi sulle serie di funzioni e sulle serie di potenze.
4
dicembre 2012, 9.00-11.00
Serie di Fourier. Funzioni periodiche,
funzioni continue a tratti e regolari a tratti. Coefficienti di Fourier
di una funzione integrabile secondo Riemann. Definizione di serie di
Fourier. Teorema di convergenza della serie di Fourier per funzioni
regolari a tratti. Disuguaglianza di Bessel e lemma di Riemann-Lebesgue
per le serie di Fourier. Teorema di convergenza uniforme della serie di
Fourier per le funzioni contunue e regolari a tratti (senza dim.).
7 dicembre
2012, 9.00-11.00
Equazioni
differenziali ordinarie. Equazioni in forma implicita e in forma
normale. Ordine di un'equazione differenziale. Esempi di equazioni
differenziali: l'equazione di Malthus e l'equazione logistica.
10 dicembre
2012, 11.00-13.00
Sistemi di
equazioni differenziali. Rapporto tra un'equazione di ordine n e un
sistema. Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali in forma
normale. Il teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard.
13 dicembre
2012, 11.00-13.00
Il teorema di
Peano (senza dimostrazione). Un esempio di equazione
differenziale senza unicità. Equazioni differenziali a variabili
separabili. Esercizi sulle equazioni a variabili separabili.
8 gennaio 2013,
9.00-11.00
Prolungamento di
soluzioni. Prolungabilità di soluzioni. Soluzioni massimali.
Condizioni di prolungabilità: esistenza del limite di una
soluzione, esistenza del limite di una successioni di valori di una
soluzione calcolata su una successione di punti crescenti.
Teorema di uscita da un compatto del dominio per il grafico di una
soluzione. Lemma di Gronwall.
10 gennaio 2013,
11.00-13.00
Teorema di
esistenza globale sulla striscia in condizioni di
sottolinearità. Dipendenza continua dai dati per le soluzioni
del problema di Cauchy. Esercizi su equazioni differenziali a variabili
separabili, omogenee, lineari del primo ordine.
11 gennaio 2013,
9.00-11.00
Equazioni
differenziali lineari di ordine k. Equazioni differenziali lineari
omogenee. Spazio delle soluzioni di una equazione differenziale
omogenea. Soluzione particolare di una non omogenea. Metodo della
matrice wronskiana per la determinazione delle soluzioni particolari.
Equazioni lineari a coefficienti costanti.
14 gennaio 2013,
11.00-13.00
Esercizi su
equazioni differenziali.
17
gennaio 2013, 11.00-13.00
Esercizi di
ricapitolazione.