4 ottobre 2011
Presentazione del corso: programma di massima e testi di riferimento.
Spazi metrici e loro topologia. Nozione di distanza, esempi di varie distanze su R^n e su spazi di funzioni. Distanza sulle funzioni continue tramite il max e l'integrale.  Palle aperte e chiuse. Intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti isolati e punti di di accumulazione. Punti di aderenza. Chiusura di un insieme.

6 ottobre 2011
Insiemi limitati in uno spazio metrico. Successioni e sottosuccessioni in uno spazio metrico. Convergenza di successioni. Funzioni continue tra spazi metrici. Carattere locale della nozione di continuità. Continuità globale e sua caratterizzazione negli spazi metrici. Lo spazio R^n. Prodotto scalare in R^n e sue proprietà. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Distanza euclidea su R^n. Distanza 1 e distanza infinito. Applicazioni lineari da R^n a R  e prodotto scalare. Applicazioni lineari da R^n a R^m. Continuità delle lineari da R^n a R^m. Continuità di una funzione da R^n a R^m  e continuità delle sue componenti.

7 ottobre 2011
Ulteriori proprietà topologiche di R^n. teorema di Cantor sui plurintervalli inscatolati. Teorema di Bolzano-Wierstrass. Teorema di Weierstrass sulle successioni limitate in R^n. Insiemi compatti per successioni e loro caratterizzazione in R^n. Teorema di Compattezza in R^n. Teorema di Weierstrass
sulle funzioni continue sui compatti di R^n. Successioni di Cauchy in una spazio metrico. Spazi metrici completi. Teorema di Completezza di R^n.

10 ottobre 2011
Calcolo differenziale in R^n. Nozione di derivata direzionale. Derivate parziali e gradiente. esempi di calcolo di derivate direzionali e gradienti. L'esistenza del gradiente non implica la continuità. L'esistenza di tutte le derivate direzionali non implica la continuità. Analogie e differenze con il caso delle funzioni di una variabile. Differenziabilità di una funzione da un aperto di R^n a R. Differenziabilità implica continuità. Gradiente e direzione di massima variazione. Interpretazione geometrica della nozione di differenziabilità. Piano tangente al grafico di una funzione da un aperto di R^n a R. Esempi di calcolo del piano tangente.
(Pagani-Salsa, cap. 7 vol.1- Giusti, cap.11 vol.2)

11 ottobre 2011
Esercizi sulla continuità di funzioni da R^n a R. Esercizi sul calcolo delle derivate direzionali e sul calcolo delle derivate parziali. Esercizi sulla differenziabilità e sul calcolo del piano tangente al grafico per una funzione da un aperto di R^n a R.
(Pagani-Salsa, cap. 7 vol.1- Giusti, cap.11 vol.2)

13 ottobre 2011
Teorema del differenziale totale e sua dimostrazione. esempi di applicazione del teorema del differenziale totale per determinare la differenziabilità di una funzione. Derivate successive di una funzione da un aperto di R^n a R. Teorema di Schwarz sull'invertibilità dell'ordine di derivazione (senza dim.). Derivate seconde e matrice hessiana. esempi di calcolo delle derivate seconde.
(Pagani-Salsa, cap. 7 vol.1- Giusti, cap.11 vol.2)

14 ottobre 2011
Richiami sulla formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange per funzioni di una variabile. Formula di Taylor arrestata al secondo ordine per funzioni di più variabili. Dimostrazione del teorema sulla formula di Taylor. Forme quadratiche. Criteri  per valutare la segnatura di una forma quadratica (senza dim.). Punti stazionari per una funzione differenziabile. Punti di massimo e di minimo locale per una funzione di più variabili. teorema di Fermat per le funzioni di più variabili. Ricerca dei massimi e dei minimi locali per una funzione definita su un aperto di R^n a valori in R. Analisi della matrice hessiana nei punti stazionari. Esercizi.
(Pagani-Salsa, cap. 7 vol.1- Giusti, cap.11 vol.2)

17 ottobre 2011
Funzioni a valori vettoriali. Differenziabilità. Matrice jacobiana. Rapporto tra differenziabilità di una funzione a valori vettoriali e differenziabilità delle sue componenti. Differenziale delle funzioni composte. Esempio di differenziazione di funzioni a valori vettoriali e di funzioni composte. Esercizi.
(Pagani-Salsa, cap. 7 vol.1- Giusti, cap.11 vol.2)

20 ottobre 2011
Integrali doppi. Definizione di funzione definita su un rettangolo di R^2 integrabile secondo Riemann. Condizione necessaria e sufficiente all'integrabilità secondo Riemann. Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione degli integrali doppi. Esempio di integrazione su un quadrato usando le formule di riduzione. Misura di Peano-Jordan. Insiemi misurabili secondo P.-J.
(Pagani-Salsa, cap. 5 vol.2)

24 ottobre 2011
Insiemi misurabili di misura nulla secondo P.-J., esempi (segmenti, grafici di funzioni continue e funzioni integrabili s. R.). Caratterizzazione degli insiemi misurabili secondo P.-J. tramite la misurabilità nulla della frontiera. Funzioni generalmente continue. Integrabilità delle generalmente continue e limitate. Corollari sull'integrabilità delle continue e limitate su misurabili e delle continue su compatti misurabili.
(Pagani-Salsa, cap. 5 vol.2)

25 ottobre 2011
Domini normali e formula di integrazione sui domini normali. Esempi ed esercizi di integrazione su domini normali. Formula di cambiamento di variabili per integrali doppi: giustificazione euristica a partire dalla formula di cambio di variabile per integrali in una dimensione.
(Pagani-Salsa, cap. 5 vol.2 - Giusti, cap.12 vol.2)

27 ottobre 2011
Coordinate polari. Esercizi di calcolo di integrali doppi con varie tecniche.
(Pagani-Salsa, cap. 5 vol.2 - Giusti, cap.12 vol.2)

28 ottobre 2011
Integrali multipli in R^n. Esercizi di calcolo di volumi. Calcolo di volumi "per corde" e "per sezioni". Volume dei solidi di rotazione.
(Pagani-Salsa, cap. 5 vol.2 - Giusti, cap.12 vol.2)

3 novembre 2011
Cambio di variabili negli integrali multipli, coordinate sferiche. Esercizi di calcolo di integrali. Cenno sugli integrali generalizzati per funzioni illimitate e su domini illimitati. Calcolo dell'integrale della funzione gaussiana.
(Pagani-Salsa, cap. 5 vol.2 - Giusti, cap.12 vol.2)

7 novembre 2011
Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Esempi di successioni convergenti puntulamente e uniformemente.
Continuità del limite di una successione di funzioni continue uniformemente convergenti, teorema dei due limiti (senza dim.). Teoremi di passaggio al limite.
Passaggio al limite sotto il segno di integrale.
(Pagani-Salsa, cap. 7 vol.2 - Giusti, cap.13 vol.2)

8 novembre 2011
Serie di potenze. Dominio di convergenza. Lemma sui punti di convergenza di una serie di potenze,  raggio di convergenza. Esrcizi sulla convergenza delle serie di funzioni.  (Pagani-Salsa, cap. 7 vol.2 - Giusti, cap.13 vol.2)

10 novembre 2011
Teorema di Cauchy-Hadamard (senza dimostrazione). Corollari al teorema di Cauchy-Hadamard: convergenze con il criterio della radice e del rapporto.
Esempi. (Pagani-Salsa, cap. 7 vol.2 - Giusti, cap.13 vol.2)

11 novembre 2011
Funzioni definite come somma di serie di potenze. Raggio di convergenza della serie derivata. Regolarità C-infinito della somma di una serie di potenze. La somma di una serie di potenze è sviluppabile in serie di Taylor. La funzione esponenziale complessa. La formula di Eulero. Il logarimo complesso. (Pagani-Salsa, cap. 7 vol.2 - Giusti, cap.13 vol.2)

14 novembre 2011
Curve in R^n. Parametrizzazione e sostegno di una curva. Curve semplici, chiuse, di Jordan. Esempi notevoli: segmenti, il circolo, l'elica cilindrica. Curve cartesiane e curve in forma polare. La cicloide e la cardioide. Curve equivalenti e curve strettamente equivalenti. (Giusti, cap.15 vol.2)

15 novembre 2011
Soluzione di alcuni degli esercizi assegnati.

17 novembre 2011
Curve rettificabili. Rettificabilità delle curce C^1 (senza dimostrazione). Calcolo della lunghezza di curve: curve grafico, curve in forma polare. Lunghezza dell'elica cilindrica, della cicloide, della cardioide. (Giusti, cap.15 vol.2)

18 novembre 2011
Spirale di Curnu. Curve parametrizzate sulla lunghezza, Evoluta della cicloide. Spirale logaritmica. Esercizi sulle curve.

21 novembre 2011
Integrali al differenziale d'arco. Indipendenza dell'integrale al differnzial d'arco dalla parametrizzazione della curva. Baricentri di fili pesanti. Generalità sulle superficie con riferimento alla nozione di aperto connesso in R^n. Superficie regolari. Interpretazione geometrica della condizione di regolarità di una superficie. Esempi di parametrizzazioni. Superficie grafico. Superficie di rotazione. (Giusti, cap.15 vol.2)

22 novembre 2011
Area di una superficie. Giustificazione euristica della formula dell'area di una superficie regolare. Calcolo di aree di superficie regolari. (Giusti, cap.15 vol.2)

24 novembre 2011
Problema di rappresentare localmente il sostegno di una curva come grafico di una funzione. Medesimo problema per gli zeri di una funzione. Il teorema delle funzioni implicite. (Giusti, cap.15 vol.2)

25 novembre 2011
Osservazioni su varie generalizzazioni del teorema delle funzioni implicite. Il gradiente della funzione che genera il vincolo è sempre ortogonale al vincolo stesso.
Massimi e minimi vincolati. Esercizi relativi a vincoli espliciti. (Giusti, cap.15 vol.2)

29 novembre 2011
Esercizi su massimi e minimi vincolati. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Esercizi utilizzando i moltiplicatori di Lagrange. (Giusti, cap.15 vol.2)

1 dicembre 2011
Campi vettoriali. Integrali di seconda specie relativi a campi vettoriali continui. Accenno alle forme differenziali. Esempio del lavoro di un campo di forze. Indipendenza dell'integrale di seconda specie dalla parametrizzazione orientata. Campi vettoriali che ammettono un potenziale. Campi conservativi. Teorema di equivalenza tra l'esistenza di un potenziale e la conservatività (senza dim.). Esempio dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. (Giusti, cap.16 vol.2)

2 dicembre 2011
Campi irrotazionali, rotore di un campo di R^3. Domini stellati. Campi irrotazionali su domini stellati sono conservativi. Esempi. (Giusti, cap.16 vol.2)

6 dicembre 2011
Frontiere orientate positivamente. Formule di Gauss-Green (senza dim.) Domini semplicemente connessi. Esempi di applicazione della formula di Gauss-Green nel calcolo delle aree: area della regione racchiusa da una cicloide e da una cardioide. Teorema della divergenza su piano. Flusso attraverso la frontiera di un insieme sul piano. Integrali al differenziale di superficie. Teorema della divergenza in R^3 (senza dim.) (Giusti, cap.16 vol.2)

12 dicembre 2011
Equazioni differenziali. Generalità sulle equazioni differenziali. Definizione di soluzione. Equazione in forma normale. Equazioni lineari ed equazioni autonome. Esempi significativi: crescita malthusiana, equazione logistica, sistema di Volterra e Lotka. Caduta di un grave nel campo gravitazionale, l'oscillatore armonico.
Il problema di Cauchy nel caso della funzione lipschtziana rispetto alla variabile x. Il teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard (senza dim.). (Giusti, cap.17 vol.2)

13 dicembre 2011
Equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni lineari del primo ordine, equazioni di Bernoulli. Esempi. (Giusti, cap.17 vol.2)

15 dicembre 2011
Prolungamento di una soluzione. Esistenza della soluzione massimale nelle ilpotesi del teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard. Il teorema di uscita dal compatto (senza dim.). Condizione di sottolinearità ed esistenza globale delle soluzioni sui domini di tipo striscia (senza dim.). (Giusti, cap.17 vol.2)

16 dicembre 2011
Equazioni e sistemi lineari. Struttura dello spazio delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare di ordine n, omogenea e non omogenea. Equazioni a coefficienti costanti. Esempi. (Giusti, cap.17 vol.2)

19 dicembre 2011
Esercizi.

20 dicembre 2011
Esercizi.