Diario delle lezioni di Analisi 3
modulo A - A.A. 2015/16
29 settembre 2015, 9.00-11.00
Nozione di distanza e di spazio
metrico.Topologia
indotta da una distanza: palle aperte e chiuse, intorni, insiemi aperti
e loro proprietà, punti di accumulazione. Insieme derivato,
insiemi chiusi e chiusura di un insieme. Teorema di caratterizzazione
della chiusura tramite il derivato.
Metriche topologicamente
equivalenti, metriche
strettamente
equivalenti.
2 ottobre
2015,
9.00-11.00
Esempi notevoli: R con la distanza
euclidea, R^n con la
distanza euclidea,
distanza-1 e distanza-infinito, altre distanze particolari, distanza P
e distanza M su R^2. Successioni in
uno spazio metrico, successioni convergenti e successioni di Cauchy.
Successioni e topologia di una spazio metrico, caratterizzazione dei
chiusi e della chiusura tramite le successioni. Funzioni continue tra
spazi metrici. Continuità in un punto e continuità
globale.
6 ottobre
2015,
9.00-10.00
Generalità sugli spazi
normati. Continuità delle operazioni di somma e prodotto per uno
scalare in uno spazio normato. Esempi.
8 ottobre 2015,
14.00-16.00.
Distanza generata da una norma. Spazi di
Banach. Lo
spazio
di
Banach
delle
funzioni
limitate
e
continue
e
limitate
su
uno
spazio
metrico
con
la
norma
del
sup. Disuguaglianza
di
Young,
disuguaglianza
di
Hölder.
9 ottobre
2015,
9.00-11.00
Disuguaglianza
di
Minkowski,
norme
p
su
R^n.
Applicazioni lineari
tra spazi normati. Per una funzione lineare tra
spazi normati la continuità equivale alla limitatezza. Una
funzione lineare da R^n a uno spazio
normato di dimensione finita è sempre continua. Norme
equivalenti. Su R^n e sugli spazi normati di
dimensione finita tutte le norme sono equivalenti. Nozione
di
derivata direzionale per
una funzione definita su un aperto di R^n a valori in R.
13
ottobre 2015, 9.00-10.00
Definizione di
funzione differenziabile.
16 ottobre 2015, 9.00-13.00
Differenziabilità implica continuità.
Differenziabilità implica derivabilità rispetto a tutte
le direzioni. Unicità del differenziale. Significato geometrico
di differenziabilità e di gradiente. Toerema del differenziale
totale.
20 ottobre 2015, 9.00-11.00
Funzioni
differenziabili da R^n a
R^m. Matrice jacobiana. Differenziale della funzione composta. Esempi significativi.
Lemma sulla derivabilità degli integrali dipendenti da un
parametro. Derivate
parziali successive. Il teorema di Schwarz sull'inversione dell'ordine
di derivazione.
23 ottobre 2015,
9.00-11.00
Formula di Taylor di una funzione di
più
varaibili. Punti critici e
massimi o minimi locali liberi per funzioni di più variabili.
Punti di sella.
26 ottobre 2015, 11.00-13.00
Forme
quadratiche definite positive, negative e indefinite. Condizione di
positività e autovalori, teorema di Sylvester. Esercizi su punti
stazionari, massimi e minimi.
27 ottobre 2015,
9.00-11.00
Esercizi su
punti stazionari, massimi e minimi. Funzioni definite in forma
implicita: generalità e sutdio di casi particolari.
29 ottobre 2015,
14.00-16.00 (lezione aperta)
Teorema del
Dini. Esempi. Teorema di Dini
nel caso di una funzione da R^n a valori in R. Esercizi.
6 novembre 2015,
9.00-11.00
Ortogonalità
tra
gradiente
e
curve
di
livello
di
una
funzione.
Teorema
di
Dini
per
una
funzione
da
R^3 a R^2 e generalizzazione per una
funzione da R^n a R^k (senza dim.). Teorema di invertibilità
locale. Minimi
e
massimi
vincolati.
Interpretazione geometrica e
condizione di parallelismo tra il gradiente della funzione e il
vettore normale al vincolo. Esempi.
10 novembre
2015,
9.00-11.00
Il metodo dei
moltiplicatori di Lagrange nel caso di vincolo dato da una sola
funzione. Esercizi su minimi e
massimi vincolati.
13 novembre
2015, 9.00-11.00
Esercizi
su minimi e
massimi vincolati.
17
novembre
2015, 9.00-11.00
Equazioni differenziali. Esempio dell'equazione della crescita
malthusiana e dell'equazione logistica. Definizioni di equazione e
soluzione. Sistemi di equazioni differenziali. Esempio del sistema di
Lotka-Volterra. Sistemi di equazioni e loro rapporto con le equazioni
di
ordine superiore. Problema di Cauchy. Teorema di
Cauchy-Lipschitz-Picard.
20
novembre 2015, 9.00-11.00
Sistemi
di equazioni e loro rapporto con le equazioni di
ordine superiore. Problema di Cauchy. Teorema di
Cauchy-Lipschitz-Picard. Dimostrazione del
teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard.
24
novembre 2015, 11.00-13.00
Equazioni a
variabili separabili. Esercizi.
26 novembre
2015, 11.00-13.00
Prolungamento di
soluzioni. Prolungabilità di soluzioni. Soluzioni massimali. Condizioni di
prolungabilità: esistenza del limite di una
soluzione. Esistenza del
limite di una successione di valori di una
soluzione calcolata su una successione di punti crescenti.
Teorema di uscita da un compatto del dominio per il grafico di una
soluzione.
27 novembre
2014, 9.00-11.00
Lemma di Gronwall. Teorema di
esistenza globale sulla striscia in condizioni di
sottolinearità. Studi qualitativi
delle soluzioni del problema di Cauchy. Esercizi.
1 dicembre
2014, 9.00-11.00
Studi qualitativi
delle soluzioni del problema di Cauchy. Equazioni
lineari di ordine superiore. Struttura dell'insieme delle soluzioni.
4 dicembre
2014, 9.00-11.00
Metodo
della matrice wronskiana per la determinazione della soluzione
particolare dell'equazione non omogenea. Equazioni a
coefficienti costanti. Tecniche
di calcolo delle soluzioni particolari di equazioni a coefficienti
costanti. Esercizi.
11 dicembre
2015,
9.00-11.00
Esempio di
applicazione del metodo della matrice Wronskiana. Convergenza puntuale
e uniforme per una successione di funzioni.
15
dicembre
2014,
9.00-11.00
Passaggio
al
limite sotto il segno di integrale e di derivata. Il teorema
dei due limiti. Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme.
18
dicembre
2014, 11.00-13.00
Serie di
funzioni. Serie puntualmente, uniformememente, totalmente convergenti.
M-test di Weierstrass. Serie di potenze. Il lemma di Abel.
21
dicembre 2015, 9.00-11.00
Il
teorema di Cauchy-Hadamard. Esempi di calcolo di raggi di
convergenza. Serie derivata. Proprietà della funzione somma di
una serie di potenze. Serie di
Taylor di
una
funzione e
serie di Taylor della funzione somma di una serie di potenze. Condizioni di
sviluppabilità in serie di Taylor (senza dim.).