Diario delle lezioni di Analisi 3
modulo A - A.A. 2014/15
30 settembre 2014, 9.00-11.00
Nozione di distanza e di spazio
metrico. Esempi notevoli: R con la distanza euclidea, R^n con la
distanza euclidea,
distanza-1 e distanza-infinito, altre distanze particolari. Topologia
indotta da una distanza: palle aperte e chiuse, intorni, insiemi aperti
e loro proprietà, punti di accumulazione. Insieme derivato,
insiemi chiusi e chiusura di un insieme. Teorema di caratterizzazione
della chiusura tramite il derivato.
3 ottobre 2014,
9.00-11.00
Metriche topologicamente
equivalenti, metriche
strettamente
equivalenti. Successioni in
uno spazio metrico, successioni convergenti e successioni di Cauchy.
Successioni e topologia di una spazio metrico, caratterizzazione dei
chiusi e della chiusura tramite le successioni. Funzioni continue tra
spazi metrici. Continuità in un punto e continuità
globale. Esercizi
sulla
continuità
(rispetto
alla
metrica
euclidea)
delle
funzioni
definite
su
R^n
a valori in R.
7 ottobre 2014,
9.00-11.00
Esercizi sugli
spazi metrici e sulla continuità delle funzioni definite su R^n
a valori in R.
Norma
su uno
spazio vettoriale. Distanza generata da una norma. Spazi di
Banach. Lo
spazio
di
Banach
delle
funzioni
limitate
e
continue
e limitate su uno
spazio metrico con la norma del sup. Disuguaglianza di
Young, di Hölder, di Minkowsky, norme p su R^n.
10 ottobre 2014,
9.00-11.00
Applicazioni lineari tra spazi normati. Per una funzione lineare tra
spazi normati la continuità equivale alla limitatezza. Una
funzione lineare da R^n a uno spazio
normato di dimensione finita è sempre continua. Norme
equivalenti. Su R^n e sugli spazi normati di
dimensione finita tutte le norme sono equivalenti.
14
ottobre 2014, 14.00-16.00
Nozione
di
derivata direzionale per
una funzione definita su un aperto di R^n a valori in R. Definizione di
funzione differenziabile.
Differenziabilità
implica continuità. Definizione di
differenziale. Rapporto tra derivate direzionali e
differenziabilità. Unicità
del differenziale. Esempi di calcolo
delle derivate parziali.
16 ottobre 2014, 14.00-16.00
Teorema
del
differenziale totale. Interpretazione geometrica della
differenziabilità e del gradiente. La direzione del gradiente
è quella del massimo incremento locale della funzione.
Derivate
parziali successive. Il teorema di Schwarz (Hermann Amandus
Schwarz, 1843-1921) sull'inversione dell'ordine di derivazione. La
matrice hessiana.
17 ottobre 2014, 11.00-13.00
Esercizi sulla
derivabilità e sulla differenziabilità. Funzioni
differenziabili da R^n a
R^m. Matrice jacobiana. Differenziale della funzione composta. Esempi significativi.
21
ottobre 2014, 11.00-13.00
Esempi di
derivazione di funzioni composte. Derivate di ordine
superiore. Formula di Taylor di una funzione di
più
varaibili.
23 ottobre 2014,
14.00-16.00
Punti critici e
massimi o minimi locali liberi per funzioni di più variabili.
Punti di sella. Esempi di studio dei punti critici. Forme
quadratiche definite positive, negative e indefinite. Condizione di
positività e autovalori, teorema di Sylvester.
24 ottobre 2014,
9.00-11.00
Esercizi su
funzioni di più variabili: punti stazionari, massimi e minimi.
5 novembre 2014,
9.00-11.00
Funzioni
definite in forma implicita, teorema del Dini. Esempi. Teorema di Dini
nel caso di una funzione da R^n a valori in R e nel caso di una
funzione da R^3 a valori in R^2. Teorema della
funzioni implicite nel caso generale (senza dim.).
7 novembre 2014,
9.00-11.00
Ortogonalità
tra
gradiente
e
curve
di
livello
di
una
funzione.
Minimi
e
massimi
vincolati,
caso
del
vincolo
espresso
tramite
il
grafico
di
una
funzione,
in forma parametrica e tramite una funzione implicita.
Interpretazione geometrica e
condizione di parallelismo tra il gradiente della funzione e il
vettore normale al vincolo. Esempi.
12 novembre
2014,
9.00-11.00
Il metodo dei
moltiplicatori di Lagrange nel caso di vincolo dato da una funzione a
uno o a più componenti. Esercizi su minimi e
massimi vincolati.
14 novembre
2014,
9.00-11.00
Esercizi su
massimi e minimi liberi e vincolati. Il Teorema di
invertibilità locale.
18 novembre
2014, 9.00-11.00
Equazioni differenziali. Esempio dell'equazione della crescita
malthusiana e dell'equazione logistica. Definizioni di equazione e
soluzione. Sistemi di equazioni e loro rapporto con le equazioni di
ordine superiore. Problema di Cauchy. Teorema di
Cauchy-Lipschitz-Picard.
21
novembre 2014, 9.00-11.00
Dimostrazione del teorema di Cauchy-Lipschitz-Picard. Teorema di Peano
(senza
dimostrazione).
Equazioni a
variabili separabili. Esercizi.
27
novembre 2014, 11.00-13.00
Equazioni a
variabili separabili. Esercizi. Prolungamento di
soluzioni. Prolungabilità di soluzioni. Soluzioni massimali. Condizioni di
prolungabilità: esistenza del limite di una
soluzione.
28 novembre
2014, 9.00-11.00
Esistenza del
limite di una successione di valori di una
soluzione calcolata su una successione di punti crescenti.
Teorema di uscita da un compatto del dominio per il grafico di una
soluzione. Lemma di Gronwall.
2 dicembre
2014, 9.00-11.00
Teorema di
esistenza globale sulla striscia in condizioni di
sottolinearità. Studi qualitativi
delle soluzioni del problema di Cauchy. Lemma dell'asintoto, teorema
del confronto. Esercizi.
5 dicembre
2014, 9.00-11.00
Studi qualitativi
delle soluzioni del problema di Cauchy.
9
dicembre 2014, 9.00-11.00
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni
lineari di ordine superiore. Struttura dell'insieme delle soluzioni.
Metodo della matrice wronskiana per la determinazione della soluzione
particolare dell'equazione non omogenea. Equazioni a
coefficienti costanti.
12 dicembre
2014, 9.00-11.00
Tecniche
di calcolo delle soluzioni particolari di equazioni a coefficienti
costanti. Esercizi. Successioni di
funzioni. Convergenza
semplice e convergenza uniforme per successioni di funzioni.
16 dicembre
2014,
9.00-11.00
Il teorema
dei due limiti. Limite uniforme di successioni di funzioni continue.
Passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata.
18
dicembre
2014, 11.00-13.00
Serie di
funzioni. Serie puntualmente, uniformememente, totalmente convergenti.
M-test di Weierstrass. Serie di potenze. Il lemma di Abel.
19 dicembre
2014,
9.00-11.00
Il teorema di Cauchy-Hadamard. Esempi di calcolo di raggi di
convergenza. Serie derivata. Proprietà della funzione somma di
una serie di potenze.
22
dicembre 2013, 11.00-13.00
Serie di
Taylor di
una funzione e
serie di Taylor della funzione somma di una serie di potenze. Condizioni di
sviluppabilità in serie di Taylor. Teorema di
Ascoli-Arzelà (senza dim.).