Diario delle lezioni di Analisi 3
modulo A
8 ottobre 2013, 9.00-11.00
Nozione di distanza e di spazio
metrico. Esempi notevoli: R con la distanza euclidea, R^n con la
distanza euclidea e richiamo della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz,
distanza-1 e distanza-infinito, altre distanze particolari. Topologia
indotta da una distanza: palle aperte e chiuse, intorni, insiemi aperti
e loro proprietà, punti di accumulazione.
10 ottobre 2013,
14.00-16.00
Insieme derivato,
insiemi chiusi e chiusura di un insieme. Teorema di caratterizzazione
della chiusura tramite il derivato. Metriche topologicamente
equivalenti, condizione sufficiente all'equivalenza delle metriche. Successioni in
uno spazio metrico, successioni convergenti e successioni di Cauchy.
Successioni e topologia di una spazio metrico, caratterizzazione dei
chiusi e della chiusura tramite le successioni. Funzioni continue tra
spazi metrici. Continuità in un punto e continuità
globale.
15 ottobre 2013,
9.00-11.00
Esercizi sulla
continuità (rispetto alla metrica
euclidea) delle funzioni definite su R^n a valori in R.
Caratterizzazione
della continuità tra spazi metrici tramite le successioni. Norma
su uno
spazio vettoriale. Distanza generata da una norma. Spazi di
Banach.
17 ottobre 2013,
14.00-17.00
Prodotti
scalari, spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e
identità del parallelogramma. Esempi di spazi normati.
Disuguaglianza di Young. Disuguaglianza di
Hölder in R^n. Disuguaglianza di Minkowski per le norme p in R^n.
22 ottobre 2013, 9.00-11.00
Applicazioni lineari tra spazi normati. Per una funzione lineare tra
spazi normati la continuità equivale alla limitatezza. Una
funzione lineare da R^n a uno spazio
normato di dimensione finita è sempre continua. Una funzione
lineare biiettiva tra R^n e uno spazio normato è continua con
inversa continua. Norme equivalenti. Su R^n e sugli spazi normati di
dimensione finita tutte le norme sono equivalenti.
Nozione di
derivata direzionale per
una funzione definita su un aperto di R^n a valori in R.
24
ottobre 2013, 14.00-16.00
Definizione di
funzione differenziabile.
Differenziabilità
implica continuità. Definizione di
differenziale. Unicità
del differenziale. Rapporto tra derivate direzionali e differenziale.
Gradiente. Esempi di calcolo delle derivate parziali. Teorema del
differenziale totale. Interpretazione geometrica della
differenziabilità e del gradiente.
25 ottobre 2013, 9.00-11.00
Esercizi sulle derivabilità e sulla differenziabilità.
Derivate parziali successive. Il teorema di Schwarz (Hermann Amandus
Schwarz, 1843-1921) sull'inversione dell'ordine di derivazione. La
matrice hessiana.
28 ottobre 2013, 11.00-13.00
Funzioni
differenziabili da R^n a
R^m. Matrice jacobiana. Differenziale della funzione composta, dimostrazione della
formula.
Esempi di derivazione di funzioni composte. Derivate di ordine
superiore. Formula di Taylor di una funzione di
più
varaibili.
30 ottobre 2012,
9.00-11.00
Formula al
secondo ordine e matrice hessiana. Punti critici e
massimi o minimi locali liberi per funzioni di più variabili.
Punti di sella. Esempi di studio dei punti critici. Forme
quadratiche definite positive, negative e indefinite. Condizione di
positività e autovalori, teorema di Sylvester.
31 ottobre 2012,
9.00-11.00
Esercizi su
funzioni di più variabili: continuità,
differenziabilità, punti stazionari, massimi e minimi.
5 novembre 2013,
9.00-11.00
Funzioni
definite in forma implicita, teorema del Dini. Esempi. Teorema della
funzioni implicite nel caso generale (senza dim.).
8 novembre 2013,
9.00-11.00
Ortogonalità
tra
gradiente
e
curve
di
livello
di
una
funzione.
Minimi
e
massimi
vincolati,
caso
del
vincolo
espresso tramite il grafico di una
funzione, in forma parametrica e tramite una funzione implicita.
Interpretazione geometrica e
condizione di pararllelismo tra il gradiente della funzione e il
vettore normale al vincolo. Esempi.
12 novembre
2013,
9.00-11.00
Il metodo dei
moltiplicatori di Lagrange nel caso di vincolo dato da una funzione a
più componenti. Esercizi su minimi e
massimi vincolati.
15 novembre
2013,
9.00-11.00
Esercizi su
massimi e minimi liberi e vincolati.
26 novembre
2013,
9.00-11.00
Il teorema di
Banach-Caccioppoli. Applicazione del teorema delle contrazioni nella
dimostrazione del teorema della funzione implicita in R^n. Successioni
di funzioni.
29
novembre
2013,
9.00-11.00
Convergenza
semplice e convergenza uniforme per successioni di funzioni. Il teorema
dei due limiti. Limite uniforme di successioni di funzioni continue.
Passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata.
3
dicembre
2013,
9.00-11.00
Serie di
funzioni. M-test di Weierstrass. Serie di potenze. Il lemma di Abel.
Dominio di convergenza di una serie di potenze.
6 dicembre 2013,
9.00-11.00
Il teorema di Cauchy-Hadamard. Esempi di calcolo di raggi di
convergenza. Serie derivata. Proprietà della funzione somma di
una serie di potenze. Serie di Taylor di una funzione e
serie di Taylor della funzione somma di Una serie di potenze.
10
dicembre 2013, 9.00-11.00
Esercizi sulle serie di funzioni e sulle serie di potenze.
13
dicembre 2013, 9.00-11.00
Equazioni differenziali. Esempio dell'equazione della crescita
malthusiana e dell'equazione logistica. Definizioni di equazione e
soluzione. Sistemi di equazioni e loro rapporto con le equazioni di
ordine superiore. Problema di Cauchy. Teorema di Cauchy-Lipschitz.
16
dicembre 2013, 14.00-16.00
Osservazioni sul teorema di Cauchy-Lipschitz. Teorema di Peano (senza dimostrazione).
Equazioni a
variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Esercizi.
17 dicembre
2013,
9.00-11.00
Prolungamento di
soluzioni. Prolungabilità di soluzioni. Soluzioni massimali.
Condizioni di prolungabilità: esistenza del limite di una
soluzione.
20 dicembre
2013, 9.00-11.00
Esistenza del
limite di una successione di valori di una
soluzione calcolata su una successione di punti crescenti.
Teorema di uscita da un compatto del dominio per il grafico di una
soluzione. Lemma di Gronwall. Teorema di
esistenza globale sulla striscia in condizioni di
sottolinearità.
9 gennaio 2014,
11.00-13.00
Esercizi su equazioni differenziali lineari del primo ordine, a
variabili separabili, omogenee, di Bernoulli.
10 gennaio
2014,
9.00-11.00
Equazioni
lineari di ordine superiore. Struttura dell'insieme delle soluzioni.
Metodo della matrice wronskiana per la determinazione della soluzione
particolare dell'equazione non omogenea.
14 gennaio
2014, 11.00-13.00
Equazioni a
coefficienti costanti. Esercizi.